Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.

Приступая к решению задач по теме , учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.

Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х А; у А) и В(х В; у В), выполняется по формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) , где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.

Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х М; у М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х М 2 + у М 2).

1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек

Пример 1 .

Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).

Решение.

В условии задачи дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 и у В = 3. Найти d.

Применив формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), получим:

d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек

Пример 2.

Найти координаты точки О 1 , которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что О 1 А = О 1 В = О 1 С. Пусть искомая точка О 1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) найдем:

О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);

О 1 В = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);

О 1 С = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

Составим систему из двух уравнений:

{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Упростив, запишем

{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.

Решив систему, получим: а = 2; b = -1.

Точка О 1 (2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2) .

3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки

Пример 3.

Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.

Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).

АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).

Получаем уравнение √((а + 5) 2 + 36) = 10. Упростив его, имеем

а 2 + 10а – 39 = 0.

Корни этого уравнения а 1 = -13; а 2 = 3.

Получаем две точки А 1 (-13; 0) и А 2 (3; 0).

Проверка:

А 1 В = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

А 2 В = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).

4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек

Пример 4.

Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).

Решение.

Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О 1 (0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О 1 А = О 1 В.

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:

О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

О 1 В = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Имеем уравнение √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .

После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.

Необходимая по условию задачи точка О 1 (0; 4) (рис. 4).

5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки

Пример 5.

Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).

Решение.

Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р 1 и Р 2 (рис. 5) . Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.

Из условия задачи следует, что МА = МР 1 = МР 2 , МР 1 = а; МР 2 = |-a|,

т.е. |-a| = а.

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:

МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).

Составим уравнение:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

После возведения в квадрат и упрощения имеем: а 2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а 1 = 1; а 2 = 5.

Получаем две точки М 1 (-1; 1) и М 2 (-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.

6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки

Пример 6.

Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.

Решение.

Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) имеем:

МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Составим уравнение:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Упростив его, получим: b 2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b 1 = 2; b 2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М 1 (5; 2) и М 2 (5; 10).

Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.

Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Здесь будет калькулятор

Расстояние между двумя точками на прямой

Рассмотрим координатную прямую, на которой отмечены 2 точки: A A A и B B B . Чтобы найти расстояние между этими точками, нужно найти длину отрезка A B AB A B . Это делается при помощи следующей формулы:

Расстояние между двумя точками на прямой

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b| A B = ∣ a − b ∣ ,

где a , b a, b a , b - координаты этих точек на прямой (координатной прямой).

Ввиду того, что в формуле присутствует модуль, при решении не принципиально, из какой координаты какую вычитать (так как берется абсолютная величина этой разности).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a| ∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣

Разберем пример, чтобы лучше понять решение подобных задач.

Пример 1

На координатной прямой отмечены точка A A A , координата которой равна 9 9 9 и точка B B B с координатой − 1 -1 − 1 . Нужно найти расстояние между этими двумя точками.

Решение

Здесь a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a = 9 , b = − 1

Пользуемся формулой и подставляем значения:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10 A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Ответ

Расстояние между двумя точками на плоскости

Рассмотрим две точки, заданные на плоскости. Из каждой отмеченной на плоскости точки нужно опустить по два перпендикуляра: На ось O X OX O X и на ось O Y OY O Y . Затем рассматривается треугольник A B C ABC A B C . Так как он является прямоугольным ( B C BC B C перпендикулярно A C AC A C ), то найти отрезок A B AB A B , он же является и расстоянием между точками, можно с помощью теоремы Пифагора. Имеем:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2 A B 2 = A C 2 + B C 2

Но, исходя из того, что длина A C AC A C равна x B − x A x_B-x_A x B ​ − x A ​ , а длина B C BC B C равна y B − y A y_B-y_A y B ​ − y A ​ , эту формулу можно переписать в следующем виде:

Расстояние между двумя точками на плоскости

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} A B = (x B ​ − x A ​ ) 2 + (y B ​ − y A ​ ) 2 ​ ,

где x A , y A x_A, y_A x A ​ , y A ​ и x B , y B x_B, y_B x B ​ , y B ​ - координаты точек A A A и B B B соответственно.

Пример 2

Необходимо найти расстояние между точками C C C и F F F , если координаты первой (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , а второй - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Решение

X C = 8 x_C=8 x C ​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C ​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F ​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F ​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2}=\sqrt{(4-8)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 C F = (x F ​ − x C ​ ) 2 + (y F ​ − y C ​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Ответ

Расстояние между двумя точками в пространстве

Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:

Расстояние между двумя точками в пространстве

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} A B = (x B ​ − x A ​ ) 2 + (y B ​ − y A ​ ) 2 + (z B ​ − z A ​ ) 2 ​

Пример 3

Найти длину отрезка F K FK F K в пространстве, если координаты точек его концов таковы: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) и (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Ответ округлить до целого числа.

Решение

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.

Расстояние между двумя точками плоскости.
Системы координат

Каждая точка А плоскости характеризуется своими координатами (х, у). Они совпадают с координатами вектора 0А , выходящего из точки 0 - начала координат.

Пусть А и В - произвольные точки плоскости с координатами (х 1 y 1) и (х 2 , у 2) соответственно.

Тогда вектор AB имеет, очевидно, координаты (х 2 - х 1 , y 2 - y 1). Известно, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат. Поэтому расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, определяется из условия

d 2 = (х 2 - х 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

d = \/ (х 2 - х 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2

Полученная формула позволяет находить расстояние между любыми двумя точками плоскости, если только известны координаты этих точек

Каждый раз, говоря о координатах той или иной точки плоскоси, мы имеем в виду вполне определенную систему координат х0у. А вообще-то систему координат на плоскости можно выбирать по-разному. Так, вместо системы координат х0у можно рассмотреть систему координат х"0у" , которая получается в результате поворота старых осей координат вокруг начальной точки 0 против часовой стрелки на угол α .

Если некоторая точка плоскости в системе координат х0у имела координаты (х, у), то в новой системе координат х"0у" она будет иметь уже другие координаты (х", у").

В качестве примера рассмотрим точку М, расположенную на оси 0х" и отстоящую от точки 0 на расстоянии, равном 1.

Очевидно, что в системе координат x0у эта точка имеет координаты (cos α , sin α ), а в системе координат х"0у" координаты (1,0).

Координаты любых двух точек плоскости А и В зависят от того, как в этой плоскости задана система координат. А вот расстояние между этими точками не зависит от способа задания системы координат. Это важное обстоятельство будет существенно использовано нами в следующем параграфе.

Упражнения

I. Найти расстояния между точками плоскости с координатами:

1) (3,5) и (3,4); 3) (0,5) и (5, 0); 5) (-3,4) и (9, -17);

2) (2, 1) и (- 5, 1); 4) (0, 7) и (3,3); 6) (8, 21) и (1, -3).

II. Найти периметр треугольника, стороны которого заданы уравнениями:

x + у - 1 = 0, 2x - у - 2 = 0 и у = 1.

III. В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (1, 0) и (0,1) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается и результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° против часовой стрелки.

IV. В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (2, 0) и (\/ 3 / 2 , - 1 / 2) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается в результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° по часовой стрелке.

Расстояние от точки до точки - это длина отрезка, соединяющего эти точки, в заданном масштабе. Таким образом, когда речь идет об измерении расстояния, то требуется знать масштаб (единицу длины), в котором будут проводиться измерения. Поэтому, задачу нахождения расстояния от точки до точки обычно рассматривают либо на координатной прямой, либо в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве. Другими словами, наиболее часто приходится вычислять расстояние между точками по их координатам.

В этой статье мы, во-первых, напомним, как определяется расстояние от точки до точки на координатной прямой. Далее получим формулы для вычисления расстояния между двумя точками плоскости или пространства по заданным координатам. В заключении, подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой.

Давайте для начала определимся с обозначениями. Расстояние от точки А до точки В будем обозначать как .

Отсюда можно заключить, что расстояние от точки А с координатой до точки В с координатой равно модулю разности координат , то есть, при любом расположении точек на координатной прямой.

Расстояние от точки до точки на плоскости, формула.

Получим формулу для вычисления расстояния между точками и , заданными в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

В зависимости от расположения точек А и В возможны следующие варианты.

Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю.

Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс, то точки и совпадают, а расстояние равно расстоянию . В предыдущем пункте мы выяснили, что расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому, . Следовательно, .

Аналогично, если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат, то расстояние от точки А до точки В находится как .

В этом случае треугольник АВС – прямоугольный по построению, причем и . По теореме Пифагора мы можем записать равенство , откуда .

Обобщим все полученные результаты: расстояние от точки до точки на плоскости находится через координаты точек по формуле .

Полученную формулу для нахождения расстояния между точками, можно использовать когда точки А и В совпадают или лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Действительно, если А и В совпадают, то . Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ох , то . Если А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Оу , то .

Расстояние между точками в пространстве, формула.

Введем прямоугольную систему координат Оxyz в пространстве. Получим формулу для нахождения расстояния от точки до точки .

В общем случае, точки А и В не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные координатным осям Ох , Оу и Oz . Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями дадут нам проекции точек А и В на эти оси. Обозначим проекции .

Искомое расстояние между точками А и В представляет собой диагональ прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке. По построению, измерения этого параллелепипеда равны и . В курсе геометрии средней школы было доказано, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, поэтому, . Опираясь на информацию первого раздела этой статьи, мы можем записать следующие равенства , следовательно,

откуда получаем формулу для нахождения расстояния между точками в пространстве .

Эта формула также справедлива, если точки А и В

• совпадают;
• принадлежат одной из координатных осей или прямой, параллельной одной из координатных осей;
• принадлежат одной из координатных плоскостей или плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.

Нахождение расстояния от точки до точки, примеры и решения.

Итак, мы получили формулы для нахождения расстояния между двумя точками координатной прямой, плоскости и трехмерного пространства. Пришло время рассмотреть решения характерных примеров.

Число задач, при решении которых конечным этапом является нахождение расстояния между двумя точками по их координатам, поистине огромно. Полный обзор таких примеров выходит за рамки данной статьи. Здесь мы ограничимся примерами, в которых известны координаты двух точек и требуется вычислить расстояние между ними.

Пусть , (Рисунок 2.3). Требуется найти .

Рисунок 2.3. Расстояние между двумя точками.

Из прямоугольного по теореме Пифагора имеем

То есть ,

Эта формула справедлива при любом расположении точек и .

II. Деление отрезка в данном отношении:

Пусть , . Требуется найти , лежащую на отрезке и делящую его в данном отношении (Рисунок 2.4.).

Рисунок 2.4. Деление отрезка в данном отношении.

Из подобия ~ , то есть , , откуда . Аналогично .

Таким образом,

– формула деления отрезка в отношении .

Если , то

– координаты середины отрезка.

Замечание. Выведенные формулы можно обобщить и на случай пространственной прямоугольной декартовой системы координат. Пусть точки , . Тогда

- формуладля нахождениярасстояния между точками и .

Формула деления отрезка в отношении .

Помимо декартовых на плоскости и в пространстве можно построить большое число других систем координат, то есть способов охарактеризовать положение точки на плоскости или в пространстве с помощью двух или трёх числовых параметров (координат). Рассмотрим некоторые из существующих систем координат.

На плоскости можно определить полярную систему координат , которая применяется, в частности, при исследовании вращательных движений.

Рисунок 2.5. Полярная система координат.

Зафиксируем на плоскости точку и выходящую из нее полупрямую , а также выберем единицу масштаба (Рисунок 2.5). Точка называется полюсом , полупрямая – полярной осью . Произвольной точке поставим в соответствие два числа :

– полярный радиус , равный расстоянию от точки М до полюса О;

– полярный угол , равный углу между полярной осью и полупрямой .

Измеряется в радианах, отсчет положительного направления значений ведется от против часовой стрелки, обычно полагают .

Полюсу соответствует полярный радиус , полярный угол для него не определен.

Найдем зависимость между прямоугольными и полярными координатами (Рисунок 2.6).

Рисунок 2.6. Связь прямоугольной и полярной систем координат.

Будем считать начало координат прямоугольной системы координат полюсом, а луч примем за полярную ось . Пусть - в прямоугольной декартовой системе координат и - в полярной системе координат. Найдем зависимость между прямоугольными и полярными координатами.

Из прямоугольного , а из прямоугольного . Таким образом, формулы

выражают прямоугольные координаты точки через ее полярные координаты.

Обратную зависимость выражают формулы

Замечание. Полярный угол можно определить и из формулы , предварительно определив по прямоугольным координатам, в какой четверти лежит точка.

Пример 1. Найти полярные координаты точки .

Решение. Вычисляем ; полярный угол находим из условий:

Следовательно, , поэтому .

Пример 2. Найти прямоугольные координаты точки .

Решение. Вычисляем

Получаем .

В трёхмерном пространстве помимо прямоугольной декартовой системы координат часто применяются цилиндрическая и сферическая системы координат.

Цилиндрическая система координат – это полярная система координат в плоскости , к которой добавлена пространственная ось , перпендикулярная данной плоскости (Рисунок 2.7). Положение любой точки характеризуется тремя числами – её цилиндрическими координатами: , где и - полярные координаты (полярный радиус и полярный угол) проекции точки на плоскость, в которой выбрана полярная система координат, - аппликата, которая равна расстоянию от точки до указанной плоскости.

Рисунок 2.7. Цилиндрическая система координат

Для установления зависимости между прямоугольной декартовой системой координат и цилиндрической расположим их друг относительно друга как на рисунке 2.8 (плоскость расположим в плоскости , причём полярная ось совпадает с положительным направлением оси , ось общая в обеих системах координат).

Пусть - прямоугольные координаты точки , - цилиндрические координаты этой точки, - проекция точки на плоскость . Тогда

формулы, связывающие прямоугольные и цилиндрические координаты точки.

Рисунок 2.8. Зависимость между прямоугольной декартовой

и цилиндрической системами координат

Замечание. Цилиндрические координаты часто применяются при рассмотрении тел вращения, причём ось располагается по оси вращения.

Сферическая система координат может быть построена следующим образом. Выберем в плоскости полярную ось . Через точку проведём прямую перпендикулярную плоскости (нормаль). Тогда любой точке пространства можно поставить в соответствие три действительных числа , где - расстояние от точки до , - угол между осью и проекцией отрезка на плоскость , - угол между нормалью и отрезком . Заметим, что , , .

Если расположить плоскость в плоскости , причём полярную ось выбрать совпадающей с положительным направлением оси , в качестве нормали выбрать ось (Рисунок 2.9), то получаем формулы связывающие эти две системы координат

Рисунок 2.9. Связь между сферической и прямоугольной декартовой

системами координат

Скалярные величины, или скаляры полностью характеризуются своим численным значением в выбранной системе единиц. Векторные величины или векторы кроме численного значения обладают также направлением. Например, если мы скажем, что дует ветер со скоростью 10 м/сек, то тем самым введем скалярную величину скорости ветра, но если мы скажем, что дует юго-западный ветер со скоростью 10 м/сек, то в этом случае скорость ветра будет уже вектором.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих точек принимается за начало, а вторая - за конец. Вектор будем обозначать либо , либо (Рисунок 2.10).

Длина вектора обозначается символом или и называется модулем вектора. Вектор, у которого длина равна 1, называется единичным . Вектор называется нулевым , если начало и конец его совпадают, и обозначается θ или . Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Векторы и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными . Два вектора и называются равными , если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

Два коллинеарных вектора, отличные от нулевых, имеющие равные модули, но противоположное направление, называются противоположными . Вектор, противоположный , обозначается , для противоположный вектор .

К числу линейных операций над векторами относят операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число, т.е. операции, результатом которых является вектор.

Определим указанные операции над векторами. Пусть даны два вектора и . Возьмем произвольную точку О и построим вектор , от точки А отложим вектор . Тогда вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается . Рассмотренное правило нахождения суммы векторов носит название правила треугольников (Рисунок 2.11).

Ту же самую сумму векторов можно получить и иным способом (Рисунок 2.12). Отложим от точки вектор и вектор . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм . Вектор , являющийся диагональю параллелограмма, проведенной из вершины , и будет суммой . Это правило нахождения суммы носит название правила параллелограмма .

Сумму любого конечного числа векторов можно получить по правилу ломанной (Рисунок 2.13). Из произвольной точки откладываем вектор , далее откладываем вектор и т.д. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего, является суммой

данных векторов, т.е. . Очевидно, если конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нуль-вектору.

Разностью двух векторов и называется такой вектор , сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Отсюда правило построения вектора-разности (Рисунок 2.14). Из точки откладываем вектор и вектор . Вектор , соединяющий концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому вектору, является разностью .

Произведением вектора на действительное число λ называется вектор , который коллинеарен вектору , имеет длину и то же направление, что и вектор , если , и направление, противоположное вектору , если .

Введенные линейные операции над векторами обладают свойствами :

1 0 . Коммутативность сложения: .

2 0 . Ассоциативность сложения: .

3 0 . Существование нейтрального элемента по сложению: .

4 0 . Существование противоположного элемента по сложению:

5 0 . Дистрибутивность умножения на число относительно сложения векторов: .

6 0 . Дистрибутивность умножения вектора на сумму двух чисел:

7 0 . Свойство ассоциативности относительно умножения вектора на произведение чисел: .

Пусть дана система векторов:

Выражение , где λ i (i = 1,2,…, n) - некоторые числа, называется линейной комбинацией системы векторов (2.1). Система векторов (2.1) называется линейно зависимой , если их линейная комбинация равна нулю при условии, что не все числа λ 1 , λ 2 , …, λ n равны нулю. Система векторов (2.1) называется линейно независимой , если их линейная комбинация равна нулю только при условии, что все числа λ i = 0 (). Можно дать другое определение линейной зависимости векторов. Система векторов (2.1) называется линейно зависимой , если какой-либо вектор этой системы линейно выражается через остальные, в противном случае система векторов (2.1) линейно независима .

Для векторов, лежащих в плоскости, справедливы следующие утверждения.

1 0 . Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.

2 0 . Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они также линейно зависимы.

3 0 . Для того, чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны.

Таким образом, максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.

Векторы называются компланарными , если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Для векторов пространства справедливы следующие утверждения.

1 0 . Всякие четыре вектора пространства линейно зависимы.

2 0 . Если число данных векторов в пространстве больше четырех, то они также линейно зависимы.

3 0 . Для того, чтобы три вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

Таким образом, максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.

Всякая максимальная подсистема линейно независимых векторов, через которую выражается любой вектор этой системы, называется базисом рассматриваемой системы векторов . Несложно заключить, что базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов, а базис в пространстве состоит из трех некомпланарных векторов. Число векторов базиса называется рангом системы векторов. Коэффициенты разложения вектора по векторам базиса называют координатами вектора в данном базисе.

Пусть векторы образуют базис и пусть , тогда числа λ 1 , λ 2 , λ 3 – координаты вектора в базисе В этом случае записывают Можно показать, что разложение вектора по базису является единственным. Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами становятся обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов. С помощью свойств линейных операций над векторами можно доказать следующую теорему.

Теорема. При сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Таким образом, если и , то , где , и где , λ – некоторое число.

Обычно множество всех векторов на плоскости, приведенных к общему началу, с введенными линейными операциями обозначают V 2 , а множество всех векторов пространства, приведенных к общему началу, обозначают V 3 . Множества V 2 и V 3 называют пространствами геометрических векторов.

Углом между векторами и называется наименьший угол (), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым после приведения этих векторов к общему началу.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначают , или

Если угол между векторами и равен , то

С геометрической точки зрения скалярное произведение векторов равно произведению модуля одного вектора на проекцию на него другого вектора. Из равенства (2.2) следует, что

Отсюда условие ортогональности двух векторов: два вектора и ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. .

Скалярное произведение векторов не является линейной операцией, так как ее результатом является число, а не вектор.

Свойства скалярного произведения.

1º. – коммутативность.

2º. – дистрибутивность.

3º. – ассоциативность относительно числового множителя.

4º. - свойство скалярного квадрата.

Из свойства 4º следует определение длины вектора :

Пусть в пространстве V 3 задан базис , где векторы – единичные векторы (их называют ортами), направление каждого их которых совпадает с положительным направлением координатных осей Ох, Oy, Oz прямоугольной декартовой системы координат.

Разложим вектор пространства V 3 по этому базису (Рисунок 2.15):

Векторы называют составляющими вектора по осям координат, или компонентами, числа a x , a y , a z – прямоугольные декартовы координаты вектора а . Направление вектора определяется углами α, β, γ, образованными им с координатными прямыми. Косинус этих углов называют направляющими вектора . Тогда направляющие косинусы определяются по формулам:

Несложно показать, что

Выразим скалярное произведение в координатной форме.

Пусть и . Перемножая эти векторы как многочлены и учитывая, что получим выражение для нахождения скалярного произведения в координатной форме :

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений одноименных координат.

Из (2.6) и (2.4) следует формула для нахождения длины вектора :

Из (2.6) и (2.7) получаем формулу для определения угла между векторами :

Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, какой – вторым, а какой третьим.

Упорядоченная тройка векторов называется правой , если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму вектору совершается против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой . Например, на рисунке 2.15 векторы , , образуют правую тройку векторов, а векторы , , - левую тройку векторов.

Аналогичным образом вводится понятие правой и левой систем координат в трехмерном пространстве.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор (другое обозначение ), который:

1) имеет длину , где – угол между векторами и ;

2) перпендикулярен векторам и (), т.е. перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и ;

По определению найдём векторное произведение координатных ортов , , :

Если , , то координаты векторного произведения вектора на вектор определяются по формуле:

Из определения следует геометрический смысл векторного произведения : модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Свойства векторного произведения:

4 0 . , если векторы и коллинеарны, или один из этих векторов нулевой.

Пример 3. Параллелограмм построен на векторах и , где , , . Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.

Решение. Построение векторов и показано на рисунке 2.16, построение параллелограмма на этих векторах показано на рисунке 2.17.

Проведём аналитическое решение этой задачи. Выразим вектора, определяющие диагонали построенного параллелограмма, через векторы и , а затем через и . Находим , . Далее находим длины диагоналей параллелограмма, как длины построенных векторов

Угол между диагоналями параллелограмма обозначим через . Тогда из формулы скалярного произведения векторов имеем:

Следовательно, .

Используя свойства векторного произведения, вычислим площадь параллелограмма:

Пусть даны три вектора , и . Представим себе, что вектор умножается векторно на и вектор и полученный вектор умножается скалярно на вектор , тем самым определяется число . Оно называется векторно-скалярным или смешанным произведением трёх векторов , и . Обозначается или .

Выясним геометрический смысл смешанного произведения (Рисунок 2.18). Пусть , , не компланарны. Построим на этих векторах параллелепипед как на ребрах. Векторное произведение есть вектор , модуль которого равен площади параллелограмма (основание параллелепипеда), построенного на векторах и и направлен перпендикулярно к плоскости параллелограмма.

Скалярное произведение (равно произведению модуля вектора и проекции на ). Высота построенного параллелепипеда есть абсолютная величина этой проекции. Следовательно, абсолютная величина смешанного произведения трёх векторов равна объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и , т.е. .

Отсюда объем треугольной пирамиды , построенной на векторах , и , вычисляется по формуле .

Отметим ещё некоторые свойства смешанного произведения векторов.

1 о. Знак произведения положителен, если векторы , , образуют систему, одноименную с основной, и отрицателен в противном случае.

Действительно , скалярное произведение положительно, если угол между и острый и отрицательно, если угол тупой. При остром угле между и векторы и расположены по одну сторону относительно основания параллелепипеда, и следовательно, из конца вектора вращение от к будет видно так же, как из конца вектора , т.е. в положительном направлении (против часовой стрелки).

При тупом угле и векторы и расположены по разные стороны относительно плоскости параллелограмма, лежащего в основании параллелепипеда, и следовательно, из конца вектора вращение от к видно в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

2 о Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке его сомножителей: .

3 о При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак. Например, , . , . - неизвестные системы.

Система (3.1) называется однородной , если все свободные члены . Система (3.1) называется неоднородной , если хотя бы один из свободных членов .

Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых в уравнения системы вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение системы превращается в тождество. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной, или противоречивой . Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной .

Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение. Если совместная система имеет более одного решения, то она называется неопределенной . Однородная система всегда совместна, так как имеет, по крайней мере, нулевое решение . Выражение для неизвестных , из которого можно получить любое конкретное решение системы, называют ее общим решением , а любое конкретное решение системы – ее частным решением . Две системы с одними и теми же неизвестными эквивалентны (равносильны ), если каждое решение одной из них является решением другой или обе системы несовместны.

Рассмотрим методы решения систем линейных уравнений.

Одним из основных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Суть этого метода состоит в сведении системы линейных уравнений к ступенчатому виду. При этом над уравнениями приходится проводить следующие элементарные преобразования :

1. Перестановка уравнений системы.

2. Прибавление к одному уравнению другого уравнения.

3. Умножение обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

В результате система примет вид:

Продолжая этот процесс дальше, исключим неизвестную из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого умножим второе уравнение на числа и добавим к 3-му, ..., к - му уравнению системы. Следующие шаги метода Гаусса осуществляются аналогично. Если в результате преобразований получится тождественное уравнение, то вычеркнем его из системы. Если на некотором шаге метода Гаусса получается уравнение вида:

тогда рассматриваемая система несовместна и дальнейшее ее решение прекращается. Если же уравнение вида (3.2) не встретится при выполнении элементарных преобразований, то не более чем через - шагов система (3.1) будет преобразована к ступенчатому виду:

Для получения частного решения системы необходимо будет в (3.4) придать свободным переменным конкретные значения.

Заметим, что так как в методе Гаусса все преобразования выполняются над коэффициентами при неизвестных уравнений и свободными членами, то на практике обычно этот метод применяют к матрице, составленной из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов. Эту матрицу называют расширенной. С помощью элементарных преобразований эту матрицу сводят к ступенчатому виду. После чего по полученной матрице восстанавливают систему и применяют к ней все предыдущие рассуждения.

Пример 1. Решить систему:

Решение. Составляем расширенную матрицу и сводим ее к ступенчатому виду:

~ *) ~ **) ~ ***)

*) - вторую строку умножили на и вычеркнули третью строку.