1. Trouvez le déterminant de la matrice d'origine. Si , alors la matrice est singulière et il n'y a pas de matrice inverse. Si, alors une matrice non dégénérée et inverse existe.

2. Trouvez la matrice transposée à.

3. Trouvez les compléments algébriques des éléments et composez à partir d'eux la matrice adjointe.

4. Nous composons la matrice inverse en utilisant la formule.

5. Nous vérifions l'exactitude du calcul de la matrice inverse, en fonction de sa définition :.

Exemple. Trouvez la matrice inverse de ceci : .

Solution.

1) Déterminant matriciel

.

2) Trouver les compléments algébriques des éléments de la matrice et composer à partir d'eux la matrice adjointe :

3) Calculez la matrice inverse :

,

4) Vérifiez :

№4Rang matriciel. Indépendance linéaire des lignes de la matrice

Pour résoudre et étudier un certain nombre de problèmes mathématiques et appliqués, le concept de rang matriciel est important.

Dans une matrice de taille, en supprimant toutes les lignes et colonnes, vous pouvez isoler les sous-matrices carrées du ème ordre, où. Les déterminants de ces sous-matrices sont appelés mineurs de l'ordre matriciel .

Par exemple, à partir de matrices, vous pouvez obtenir des sous-matrices du 1er, 2e et 3e ordre.

Définition. Le rang d'une matrice est l'ordre le plus élevé des mineurs non nuls de cette matrice. Désignation : ou.

De la définition il résulte :

1) Le rang de la matrice ne dépasse pas la plus petite de ses dimensions, c'est-à-dire

2) si et seulement si tous les éléments de la matrice sont égaux à zéro, c'est-à-dire

3) Pour une matrice carrée d'ordre n si et seulement si la matrice est non singulière.

Comme il est difficile (et prend du temps) d'énumérer directement tous les mineurs possibles de la matrice, en commençant par la plus grande taille, ils utilisent des transformations matricielles élémentaires qui préservent le rang de la matrice.

Transformations matricielles élémentaires :

1) Suppression de la ligne zéro (colonne).

2) Multiplier tous les éléments d'une ligne (colonne) par un nombre.

3) Changer l'ordre des lignes (colonnes) de la matrice.

4) Ajouter à chaque élément d'une ligne (colonne) les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne), multipliés par n'importe quel nombre.

5) Transposition matricielle.

Définition. Une matrice obtenue à partir d'une matrice utilisant des transformations élémentaires est dite équivalente et est notée UN DANS.

Théorème. Le rang de la matrice ne change pas lors des transformations matricielles élémentaires.

À l'aide de transformations élémentaires, vous pouvez réduire la matrice à la forme dite en escalier, lorsque le calcul de son rang n'est pas difficile.

Une matrice est appelée échelon si elle a la forme :

Évidemment, le rang d'une matrice à échelons est égal au nombre de lignes non nulles, puisque il existe un ordre mineur qui n'est pas égal à zéro :

.

Exemple. Déterminer le rang d'une matrice à l'aide de transformations élémentaires.

Le rang de la matrice est égal au nombre de lignes non nulles, c'est-à-dire .

№5Indépendance linéaire des lignes de la matrice

Étant donné une matrice de taille

Notons les lignes de la matrice comme suit :

Les deux lignes s'appellent égal , si leurs éléments correspondants sont égaux. .

Introduisons les opérations de multiplication d'une chaîne par un nombre et d'ajout de chaînes comme opérations effectuées élément par élément :

Définition. Une ligne est appelée une combinaison linéaire de lignes d'une matrice si elle est égale à la somme des produits de ces lignes par des nombres réels arbitraires (nombres quelconques) :

Définition. Les lignes de la matrice sont appelées linéairement dépendant , s'il y a des nombres qui ne sont pas simultanément égaux à zéro, de telle sorte qu'une combinaison linéaire de lignes matricielles soit égale à la ligne zéro :

Où . (1.1)

La dépendance linéaire des lignes de la matrice signifie qu'au moins 1 ligne de la matrice est une combinaison linéaire du reste.

Définition. Si une combinaison linéaire de lignes (1.1) est égale à zéro si et seulement si tous les coefficients sont , alors les lignes sont appelées linéairement indépendant .

Théorème du rang matriciel . Le rang d'une matrice est égal au nombre maximum de ses lignes ou colonnes linéairement indépendantes à travers lesquelles toutes les autres lignes (colonnes) sont exprimées linéairement.

Le théorème joue un rôle fondamental dans l'analyse matricielle, en particulier dans l'étude des systèmes d'équations linéaires.

№6Résoudre un système d'équations linéaires à inconnues

Les systèmes d'équations linéaires sont largement utilisés en économie.

Le système d'équations linéaires à variables a la forme :

,

où () sont des nombres arbitraires appelés coefficients pour les variables Et termes libres des équations , respectivement.

Brève entrée : ().

Définition. La solution du système est un tel ensemble de valeurs, lors de la substitution desquelles chaque équation du système se transforme en une véritable égalité.

1) Le système d'équations s'appelle articulation , s'il a au moins une solution, et non conjoint, s'il n'a pas de solutions.

2) Le système d'équations simultanées s'appelle certain , s'il a une solution unique, et incertain , s'il a plus d'une solution.

3) Deux systèmes d'équations sont appelés équivalent (équivalent ) , s'ils ont le même ensemble de solutions (par exemple, une solution).

Méthodes pour trouver la matrice inverse. Considérons une matrice carrée

Notons Δ = det A.

La matrice carrée A est appelée non dégénéré, ou pas spécial, si son déterminant est non nul, et dégénérer, ou spécial, SiΔ = 0.

Une matrice carrée B est une matrice carrée A du même ordre si leur produit est A B = B A = E, où E est la matrice identité du même ordre que les matrices A et B.

Théorème . Pour que la matrice A ait une matrice inverse, il faut et il suffit que son déterminant soit différent de zéro.

La matrice inverse de la matrice A, notée A- 1, donc B = A - 1 et est calculé par la formule

, (1)

où A i j sont des compléments algébriques des éléments a i j de la matrice A..

Le calcul de A -1 à l'aide de la formule (1) pour les matrices d'ordre élevé demande beaucoup de travail, donc en pratique, il est pratique de trouver A -1 en utilisant la méthode des transformations élémentaires (ET). Toute matrice non singulière A peut être réduite à la matrice identité E au moyen d'ED de colonnes (ou de lignes uniquement). Si les ED perfectionnés sur la matrice A sont appliqués dans le même ordre à la matrice d'identité E, alors le résultat est une matrice inverse. Il est pratique d’effectuer simultanément EP sur les matrices A et E, en écrivant les deux matrices côte à côte sur une ligne. Notons encore une fois que lors de la recherche de la forme canonique d'une matrice, pour la retrouver, on peut utiliser des transformations de lignes et de colonnes. Si vous avez besoin de trouver l'inverse d'une matrice, vous devez utiliser uniquement des lignes ou uniquement des colonnes pendant le processus de transformation.

Exemple 1. Pour matrice trouver A -1 .

Solution.On trouve d’abord le déterminant de la matrice A
Cela signifie que la matrice inverse existe et on peut la trouver en utilisant la formule : , où A i j (i,j=1,2,3) sont des additions algébriques d'éléments a i j de la matrice d'origine.

Où .

Exemple 2. En utilisant la méthode des transformations élémentaires, trouvez A -1 pour la matrice : A = .

Solution.On affecte à la matrice originale de droite une matrice identité du même ordre : . A l'aide de transformations élémentaires des colonnes, nous réduirons la « moitié » gauche à celle identité, en effectuant simultanément exactement les mêmes transformations sur la matrice droite.
Pour ce faire, échangez la première et la deuxième colonne : ~ . À la troisième colonne, nous ajoutons la première, et à la seconde - la première, multipliée par -2 : . De la première colonne, nous soustrayons la deuxième doublée et de la troisième - la deuxième multipliée par 6 ; . Ajoutons la troisième colonne à la première et à la deuxième : . Multipliez la dernière colonne par -1 : . La matrice carrée obtenue à droite de la barre verticale est la matrice inverse de la matrice donnée A. Ainsi,
.

La matrice A -1 est appelée matrice inverse par rapport à la matrice A si A*A -1 = E, où E est la matrice identité d'ordre n. Une matrice inverse ne peut exister que pour les matrices carrées.

Objet de la prestation. Grâce à ce service en ligne, vous pouvez trouver des compléments algébriques, une matrice transposée A T, une matrice alliée et une matrice inverse. La décision s'effectue directement sur le site internet (en ligne) et est gratuite. Les résultats du calcul sont présentés dans un rapport au format Word et Excel (c'est-à-dire qu'il est possible de vérifier la solution). voir exemple de conception.

Instructions. Pour obtenir une solution, il faut préciser la dimension de la matrice. Ensuite, remplissez la matrice A dans la nouvelle boîte de dialogue.

Voir aussi Matrice inverse utilisant la méthode Jordano-Gauss

Algorithme pour trouver la matrice inverse

1. Trouver la matrice transposée A T .
2. Définition des compléments algébriques. Remplacez chaque élément de la matrice par son complément algébrique.
3. Compilation d'une matrice inverse à partir d'additions algébriques : chaque élément de la matrice résultante est divisé par le déterminant de la matrice d'origine. La matrice résultante est l'inverse de la matrice d'origine.

Suivant algorithme pour trouver la matrice inverse similaire au précédent à quelques étapes près : d’abord les compléments algébriques sont calculés, puis la matrice alliée C est déterminée.

1. Déterminez si la matrice est carrée. Sinon, il n’existe pas de matrice inverse pour cela.
2. Calcul du déterminant de la matrice A. Si elle n'est pas égale à zéro, on continue la solution, sinon la matrice inverse n'existe pas.
3. Définition des compléments algébriques.
4. Remplir la matrice d'union (mutuelle, adjointe) C .
5. Compilation d'une matrice inverse à partir d'additions algébriques : chaque élément de la matrice adjointe C est divisé par le déterminant de la matrice d'origine. La matrice résultante est l'inverse de la matrice d'origine.
6. Ils font une vérification : ils multiplient l'original et les matrices résultantes. Le résultat devrait être une matrice d’identité.

Exemple n°1. Écrivons la matrice sous la forme :

Ajouts algébriques. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A-1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Un autre algorithme pour trouver la matrice inverse

Présentons un autre schéma pour trouver la matrice inverse.

1. Trouver le déterminant d'une matrice carrée A donnée.
2. On trouve des compléments algébriques à tous les éléments de la matrice A.
3. Nous écrivons des ajouts algébriques d'éléments de ligne aux colonnes (transposition).
4. On divise chaque élément de la matrice résultante par le déterminant de la matrice A.

Comme on le voit, l’opération de transposition peut être appliquée aussi bien au début, sur la matrice originale, qu’à la fin, sur les additions algébriques résultantes.

Un cas particulier: L'inverse de la matrice identité E est la matrice identité E.

matrice inverse est une matrice A−1, lorsqu'il est multiplié par lequel la matrice initiale donnée UN résultats dans la matrice d'identité E:

AA −1 = UNE −1 UNE =E.

Méthode matricielle inverse.

Méthode matricielle inverse- c'est l'une des méthodes les plus courantes de résolution de matrices et est utilisée pour résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires (SLAE) dans les cas où le nombre d'inconnues correspond au nombre d'équations.

Qu'il y ait un système néquations linéaires avec n inconnu:

Un tel système peut s'écrire sous la forme d'une équation matricielle A* X = B,

Où
- matrice du système,

- colonne d'inconnues,

- colonne de cotes gratuites.

À partir de l'équation matricielle dérivée, nous exprimons X en multipliant les deux côtés de l'équation matricielle de gauche par A-1, résultant en:

A -1 * A * X = A -1 * B

Sachant que A-1 * A = E, Alors E * X = A -1 * B ou X = A-1 * B.

L'étape suivante consiste à déterminer la matrice inverse A-1 et multiplié par la colonne des termes libres B.

Matrice inverse à matrice UN n'existe que lorsque det A≠ 0 . Compte tenu de cela, lors de la résolution de SLAE à l’aide de la méthode matricielle inverse, la première étape consiste à trouver det A. Si det A≠ 0 , alors le système n'a qu'une seule solution, qui peut être obtenue en utilisant la méthode matricielle inverse, mais si det A = 0, alors un tel système méthode matricielle inverse ne peut pas être résolu.

Résoudre la matrice inverse.

Séquence d'actions pour solutions matricielles inverses:

1. On obtient le déterminant de la matrice UN. Si le déterminant est supérieur à zéro, nous résolvons davantage l'inverse de la matrice ; s'il est égal à zéro, nous ne pouvons pas trouver ici la matrice inverse.
2. Trouver la matrice transposée À.
3. Nous recherchons des compléments algébriques, après quoi nous remplaçons tous les éléments de la matrice par leurs compléments algébriques.
4. On assemble la matrice inverse à partir d'additions algébriques : on divise tous les éléments de la matrice résultante par le déterminant de la matrice initialement donnée. La matrice finale sera la matrice inverse requise par rapport à celle d'origine.

Algorithme ci-dessous solutions matricielles inverses essentiellement le même que celui ci-dessus, la différence n'est que de quelques étapes : tout d'abord nous définissons les compléments algébriques, et ensuite nous calculons la matrice alliée C.

1. Déterminez si une matrice donnée est carrée. Si la réponse est négative, il devient clair qu’il ne peut pas y avoir de matrice inverse.
2. Déterminez si une matrice donnée est carrée. Si la réponse est négative, il devient clair qu’il ne peut pas y avoir de matrice inverse.
3. Nous calculons des compléments algébriques.
4. Nous composons une matrice d'union (mutuelle, adjointe) C.
5. On compose la matrice inverse à partir d'additions algébriques : tous les éléments de la matrice adjointe C diviser par le déterminant de la matrice initiale. La matrice finale sera la matrice inverse requise par rapport à celle donnée.
6. On vérifie le travail effectué : multipliez les matrices initiales et résultantes, le résultat doit être une matrice identité.

Il est préférable d'utiliser une matrice ci-jointe.

Théorème : Si l'on affecte une matrice identité du même ordre à une matrice carrée du côté droit et que, par des transformations élémentaires sur les lignes, on transforme la matrice initiale de gauche en matrice identité, alors celle obtenue du côté droit sera être inverse à celui initial.

Un exemple de recherche d'une matrice inverse.

Exercice. Pour matrice trouver l'inverse en utilisant la méthode de la matrice adjointe.

Solution. Ajouter à la matrice donnée UNà droite se trouve une matrice d'identité du 2ème ordre :

De la 1ère ligne on soustrait la 2ème :

De la deuxième ligne on soustrait les 2 premières :

Pour toute matrice non singulière A il existe une unique matrice A -1 telle que

A*A -1 =A -1 *A = E,

où E est la matrice identité des mêmes ordres que A. La matrice A -1 est appelée l'inverse de la matrice A.

Au cas où quelqu'un aurait oublié, dans la matrice identité, à l'exception de la diagonale remplie de uns, toutes les autres positions sont remplies de zéros, un exemple de matrice identité :

Trouver la matrice inverse à l'aide de la méthode de la matrice adjointe

La matrice inverse est définie par la formule :

où A ij - éléments a ij.

Ceux. Pour calculer la matrice inverse, vous devez calculer le déterminant de cette matrice. Trouvez ensuite les compléments algébriques de tous ses éléments et composez-en une nouvelle matrice. Ensuite, vous devez transporter cette matrice. Et divisez chaque élément de la nouvelle matrice par le déterminant de la matrice d'origine.

Regardons quelques exemples.

Trouver A -1 pour une matrice

Solution : Trouvons A -1 en utilisant la méthode de la matrice adjointe. On a det A = 2. Trouvons les compléments algébriques des éléments de la matrice A. Dans ce cas, les compléments algébriques des éléments de la matrice seront les éléments correspondants de la matrice elle-même, pris avec un signe conformément à la formule

On a A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. On forme la matrice adjointe

On transporte la matrice A* :

On trouve la matrice inverse à l'aide de la formule :

On a:

En utilisant la méthode de la matrice adjointe, trouvez A -1 si

Solution : Tout d’abord, nous calculons la définition de cette matrice pour vérifier l’existence de la matrice inverse. Nous avons

Ici, nous avons ajouté aux éléments de la deuxième ligne les éléments de la troisième ligne, préalablement multipliés par (-1), puis avons développé le déterminant de la deuxième ligne. Puisque la définition de cette matrice est non nulle, sa matrice inverse existe. Pour construire la matrice adjointe, on trouve les compléments algébriques des éléments de cette matrice. Nous avons

D'après la formule

matrice de transport A* :

Alors selon la formule

Trouver la matrice inverse par la méthode des transformations élémentaires

En plus de la méthode de recherche de la matrice inverse, qui découle de la formule (méthode de la matrice adjointe), il existe une méthode de recherche de la matrice inverse, appelée méthode des transformations élémentaires.

Transformations matricielles élémentaires

Les transformations suivantes sont appelées transformations matricielles élémentaires :

1) réarrangement des lignes (colonnes) ;

2) multiplier une ligne (colonne) par un nombre autre que zéro ;

3) ajouter aux éléments d'une ligne (colonne) les éléments correspondants d'une autre ligne (colonne), préalablement multipliés par un certain nombre.

Pour trouver la matrice A -1, on construit une matrice rectangulaire B = (A|E) d'ordres (n; 2n), en affectant à la matrice A de droite la matrice identité E par une ligne de séparation :

Regardons un exemple.

En utilisant la méthode des transformations élémentaires, trouver A -1 si

Solution On forme la matrice B :

Notons les lignes de la matrice B par α 1, α 2, α 3. Effectuons les transformations suivantes sur les lignes de la matrice B.