Ердийн даалгаврыг яг ингэж томъёолдог бөгөөд энэ нь графикийн БҮХ асимптотуудыг (босоо, налуу/хэвтээ) олох явдал юм. Хэдийгээр асуулт тавихдаа илүү нарийвчлалтай байхын тулд бид асимптот байгаа эсэхийг судлах талаар ярьж байна (эцсийн эцэст огт байхгүй байж магадгүй).

Энгийн зүйлээс эхэлцгээе:

Жишээ 1

Шийдлийг хоёр цэгт хялбархан хувааж болно:

1) Эхлээд бид босоо асимптот байгаа эсэхийг шалгана. -д хуваагч тэг болох ба энэ үед функц хязгааргүй тасалдлыг амсах бөгөөд тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь функцийн графикийн босоо асимптот болох нь шууд тодорхой болно. Гэхдээ ийм дүгнэлт гаргахын өмнө нэг талын хязгаарлалтыг олох шаардлагатай.

Функцийн тасралтгүй байдлын тухай өгүүлэлд мөн адил онцолсон тооцооллын техникийг би танд сануулж байна. Хагарлын цэгүүд. Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд бид . Тоолуурт сонирхолтой зүйл алга:
.

Гэхдээ хуваагч дээр энэ нь гарч ирдэг хязгааргүй бага сөрөг тоо:
, энэ нь хязгаарын хувь заяаг тодорхойлдог.

Зүүн гар талын хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд зарчмын хувьд босоо асимптот байгаа эсэх талаар дүгнэлт гаргах боломжтой болсон. Гэхдээ нэг талт хязгаарлалтууд нь зөвхөн үүнд шаардлагатай биш бөгөөд тэдгээр нь функцийн график хэрхэн байрлаж байгааг ОЙЛГОХ, ЗӨВ бүтээхэд туслана. Тиймээс бид баруун гар талын хязгаарыг тооцоолох ёстой.

Дүгнэлт: нэг талт хязгаар нь хязгааргүй бөгөөд энэ нь шулуун шугам нь функцийн графикийн босоо асимптот гэсэн үг юм.

Эхний хязгаар хязгаарлагдмал, энэ нь "яриагаа үргэлжлүүлэх" шаардлагатай бөгөөд хоёр дахь хязгаарыг олох шаардлагатай гэсэн үг юм.

Хоёр дахь хязгаар нь бас хязгаарлагдмал.

Тиймээс бидний асимптот нь:

Дүгнэлт: тэгшитгэлээр тодорхойлсон шулуун шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Хэвтээ асимптотыг олохын тулд та хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно.

Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол шулуун шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Функцийн тоологч ба хуваагч нь ижил өсөлтийн дарааллаар байгааг анзаарахад хялбар байдаг бөгөөд энэ нь хайж буй хязгаар нь төгсгөлтэй байх болно гэсэн үг юм.

Хариулт:

Нөхцөл байдлын дагуу зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ функцийн судалгаа эрчимтэй явагдаж байгаа бол бид тэр даруй ноорог дээр ноорог зурна.

Гурван олсон хязгаар дээр үндэслэн функцийн график хэрхэн байрлаж болохыг олж мэдэхийг хичээ. Ер нь хэцүү байна уу? 5-6-7-8 цэгүүдийг олоод зурган дээр тэмдэглэ. Гэхдээ энэ функцын графикийг энгийн функцийн графикийн хувиргалтуудыг ашиглан бүтээсэн бөгөөд дээрх өгүүллийн 21-р жишээг анхааралтай судалж үзсэн уншигчид энэ нь ямар төрлийн муруй болохыг хялбархан тааж чадна.

Жишээ 2

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Процесс нь босоо асимптот ба ташуу асимптот гэсэн хоёр цэгт хуваагддаг гэдгийг танд сануулъя. Түүврийн шийдэлд хэвтээ асимптотыг хялбаршуулсан схемийг ашиглан олно.

Практикт бутархай-рационал функцүүд ихэвчлэн тулгардаг бөгөөд гиперболын талаар сургасны дараа бид даалгаврыг хүндрүүлнэ.

Жишээ 3

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: Нэг, хоёр, дууссан:

1) Босоо асимптотууд нь төгсгөлгүй тасалдалтай цэгүүдэд байдаг тул хуваагч тэг болж байгаа эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийг шийдье:

Дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай бөгөөд ажил нь мэдэгдэхүйц нэмэгдсэн =)

Цаашид нэг талт хязгаарыг олохын тулд дөрвөлжин гурвалсан тоог үржүүлэх нь тохиромжтой.
(авсаархан тэмдэглэгээний хувьд "хасах" хэсгийг эхний хаалтанд оруулсан болно). Аюулгүй байхын тулд хаалтуудыг оюун ухаанаар эсвэл ноорог дээр нээх замаар шалгацгаая.

Функцийг хэлбэрээр дахин бичье

Нэг талт хязгаарыг олъё:

Тэгээд цэг дээр:

Тиймээс шулуун шугамууд нь тухайн функцийн графикийн босоо асимптотууд юм.

2) Хэрэв та функцийг харвал хязгаар нь хязгаарлагдмал байх нь тодорхой бөгөөд бид хэвтээ асимптоттой болно. Түүний оршихуйг товчхон харуулъя:

Тиймээс шулуун шугам (абсцисса тэнхлэг) нь энэ функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм.

Хариулт:

Олдсон хязгаар ба асимптотууд нь функцийн графикийн талаар маш их мэдээлэл өгдөг. Дараахь баримтуудыг харгалзан зургийг төсөөлөхийг хичээ.

Графикийн хувилбарыг ноорог дээрээ зур.

Мэдээжийн хэрэг, олсон хязгаар нь графикийн харагдах байдлыг тодорхой тодорхойлдоггүй бөгөөд та алдаа гаргаж магадгүй ч дасгал нь өөрөө функцийг бүрэн судлах явцад үнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно. Зөв зураг нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Жишээ 4

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Жишээ 5

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Эдгээр нь бие даасан шийдэлд зориулагдсан ажлууд юм. График хоёулаа дахин хэвтээ асимптотуудтай бөгөөд эдгээрийг дараах шинж чанаруудаар шууд илрүүлдэг: Жишээ 4-т хувагчийн өсөлтийн дараалал нь тоологчийн өсөлтийн дарааллаас их, жишээ 5-д хуваагч ба хуваагч ижил дарааллаар байна. өсөлтийн. Түүврийн шийдэлд эхний функцийг ташуу асимптотуудыг бүрэн хэмжээгээр, хоёр дахь нь хязгаараар шалгадаг.

Миний субьектив сэтгэгдэлээр хэвтээ асимптотууд нь "үнэхээр хазайсан"-аас илт илүү түгээмэл байдаг. Удаан хүлээгдэж буй ерөнхий тохиолдол:

Жишээ 6

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: жанрын сонгодог:

1) Хуваагч эерэг тул функц нь бүх тооны шугамын дагуу тасралтгүй байх ба босоо асимптот байхгүй. …Сайн байна уу? Зөв үг биш - маш сайн! 1-р цэг хаалттай байна.

2) Ташуу асимптот байгаа эсэхийг шалгая:

Эхний хязгаар хязгаарлагдмал, тэгээд цаашаа явцгаая. "Хязгааргүй хасах хязгааргүй" тодорхойгүй байдлыг арилгах хоёр дахь хязгаарыг тооцоолохдоо бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулна.

Хоёр дахь хязгаар нь бас хязгаарлагдмалТиймээс тухайн функцийн график нь ташуу асимптоттой байна:

Дүгнэлт:

Ийнхүү функцийн график үед хязгааргүй ойрхоншулуун шугам руу ойртоно:

Энэ нь ташуу асимптотыг гарал үүслээр нь огтолж байгааг анхаарна уу, ийм огтлолцлын цэгүүд нь нэлээд зөвшөөрөгдөхүйц байдаг - хязгааргүйд "бүх зүйл хэвийн" байх нь чухал (үнэндээ энд бид асимптотуудын тухай ярьж байна).

Жишээ 7

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл: тайлбар хийх онцгой зүйл байхгүй тул би эцсийн шийдлийн ойролцоо жишээг зурах болно.

1) Босоо асимптотууд. Гол санааг нь судалцгаая.

Шулуун шугам нь графын босоо асимптот юм.

2) Ташуу асимптотууд:

Шулуун шугам нь графын налуу асимптот юм.

Хариулт:

Олдсон нэг талт хязгаар ба асимптотууд нь энэ функцийн график ямар харагдахыг маш итгэлтэйгээр таамаглах боломжийг олгодог. Хичээлийн төгсгөлд зөв зурах.

Жишээ 8

Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Энэ нь бие даасан шийдлийн жишээ юм, зарим хязгаарыг тооцоолоход хялбар байхын тулд та хуваагчийг нэр томъёогоор хувааж болно. Дахин хэлэхэд, үр дүндээ дүн шинжилгээ хийхдээ энэ функцийн графикийг зурж үзээрэй.

Мэдээжийн хэрэг, "бодит" ташуу асимптотуудын эзэд нь тоологчийн тэргүүлэх зэрэг нь хуваарийн тэргүүлэх зэрэгтэй харьцуулахад нэг их байдаг бутархай рационал функцуудын графикууд юм. Хэрэв энэ нь илүү байвал ташуу асимптот байхгүй болно (жишээлбэл, ).

Гэхдээ амьдралд бусад гайхамшгууд тохиолддог:

Жишээ 9

Шийдэл: функц нь бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байх бөгөөд энэ нь босоо асимптот байхгүй гэсэн үг юм. Гэхдээ хандлагатай хүмүүс байж болно. Бид шалгаж байна:

Би их сургуульд байхдаа үүнтэй төстэй функцтэй тулгарснаа санаж, ташуу асимптоттой гэдэгт итгэж чадахгүй байв. Би хоёр дахь хязгаарыг тооцоолох хүртэл:

Хатуухан хэлэхэд энд хоёр тодорхойгүй зүйл байна: ба , гэхдээ нэг талаараа та нарийн төвөгтэй байдлын хязгаарын тухай өгүүллийн 5-6-р жишээнд авч үзсэн шийдлийн аргыг ашиглах хэрэгтэй. Дараах томъёог ашиглахын тулд бид коньюгат илэрхийллээр үржүүлж, хуваана.

Хариулт:

Магадгүй хамгийн алдартай ташуу асимптот.

Өнөөг хүртэл хязгааргүй байдлыг "нэг сойзоор таслав" боловч функцийн график нь дээр болон дээр хоёр өөр ташуу асимптоттой байдаг:

Жишээ 10

Асимптот байгаа эсэхийг функцийн графикийг шалгана уу

Шийдэл: радикал илэрхийлэл нь эерэг бөгөөд энэ нь тодорхойлолтын хүрээ нь ямар ч бодит тоо бөгөөд босоо саваа байж болохгүй гэсэн үг юм.

Ташуу асимптотууд байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Хэрэв "x" нь "хасах хязгааргүй" хандлагатай бол:
(квадрат язгуур доор "X" нэмэхдээ хуваагчийн сөрөг талыг алдахгүйн тулд "хасах" тэмдгийг нэмэх шаардлагатай)

Энэ нь ер бусын харагдаж байна, гэхдээ энд тодорхойгүй байдал нь "хязгааргүйг хасах" юм. Тоолуур ба хуваагчийг нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлнэ.

Тиймээс шулуун шугам нь графын налуу асимптот болно.

"Нэмэх хязгааргүй" бол бүх зүйл илүү ач холбогдолгүй болно:

Мөн шулуун шугам нь дээр байна.

Хариулт:

Хэрэв ;
, Хэрэв .

Би график дүрсийг эсэргүүцэж чадахгүй:

Энэ бол гиперболын салбаруудын нэг юм.

Асимптотуудын боломжит оршихуй нь эхлээд функцийн тодорхойлолтын мужаар хязгаарлагдах нь ердийн зүйл биш юм.

Жишээ 11

Асимптот байгаа эсэхийг функцийн графикийг шалгана уу

Шийдэл: Энэ нь тодорхой байна, тиймээс бид функцийн график байгаа баруун хагас хавтгайг л авч үзэх болно.

1) Функц нь интервал дээр тасралтгүй байх бөгөөд хэрэв босоо асимптот байгаа бол энэ нь зөвхөн ордны тэнхлэг байж болно гэсэн үг юм. Тухайн цэгийн ойролцоох функцийн үйлдлийг судалъя баруун талд:

Энд тодорхойгүй зүйл байхгүй гэдгийг анхаарна уу (ийм тохиолдлуудыг "Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд" өгүүллийн эхэнд онцолсон болно).

Тиймээс шулуун шугам (ординатын тэнхлэг) нь функцийн графикийн босоо асимптот болно.

2) Ташуу асимптотын судалгааг бүрэн схемийн дагуу хийж болно, гэхдээ L'Hopital Rules нийтлэлээс бид шугаман функц нь логарифмээс илүү өсөлтийн дараалалтай болохыг олж мэдсэн, тиймээс: (Жишээг үзнэ үү. ижил хичээлийн 1).

Дүгнэлт: x тэнхлэг нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм.

Хариулт:

Хэрэв ;
, Хэрэв .

Тодорхой болгохын тулд зурах:

Ижил төстэй функц нь огт асимптотгүй байдаг нь сонирхолтой юм (хүссэн хүмүүс үүнийг шалгаж болно).

Бие даан суралцах эцсийн хоёр жишээ:

Жишээ 12

Асимптот байгаа эсэхийг функцийн графикийг шалгана уу

Босоо асимптотуудыг шалгахын тулд эхлээд функцийн тодорхойлолтын мужийг олж, дараа нь "сэжигтэй" цэгүүдэд нэг талт хязгаарын хосыг тооцоолох хэрэгтэй. Функц нь "нэмэх" ба "хасах" хязгааргүйд тодорхойлогддог тул ташуу асимптотуудыг мөн хасдаггүй.

Жишээ 13

Асимптот байгаа эсэхийг функцийн графикийг шалгана уу

Гэхдээ энд зөвхөн ташуу асимптотууд байж болох бөгөөд чиглэлийг тусад нь авч үзэх хэрэгтэй.

Та зөв асимптотыг олсон гэж найдаж байна =)

Чамд амжилт хүсье!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2:Шийдэл :
. Нэг талын хязгаарлалтыг олцгооё:

Чигээрээ үед функцийн графикийн босоо асимптот юм .
2) Ташуу асимптотууд.

Чигээрээ .
Хариулт:

ЗурахЖишээ 3:

Жишээ 4:Шийдэл :
1) Босоо асимптотууд. Функц нь нэг цэгт хязгааргүй завсарлага авдаг . Нэг талын хязгаарыг тооцоолъё:

Тайлбар: тэгш тоотой хязгааргүй цөөн сөрөг тоо нь хязгааргүй бага эерэг тоотой тэнцүү байна. .

Чигээрээ нь функцийн графикийн босоо асимптот юм.
2) Ташуу асимптотууд.

Чигээрээ (абсцисса тэнхлэг) нь at функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм .
Хариулт: . .
Тийм үед График нь налуу асимптотгүй.

Тиймээс шулуун шугам нь энэ функцийн графикийн хэвтээ асимптот юм .
Хариулт: x тэнхлэг дээр .

Захидлын оюутнуудад зориулсан дээд математик ба бусад >>>

(Үндсэн хуудас руу очих)

Функцийн тэг. Функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Интервалын арга

Дериватив, функцийг судлахтай холбоотой материалын нэлээд хэсэг нь уламжлал ёсоор сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт багтдаг бөгөөд энэ нийтлэл нь дүрмээс үл хамаарах зүйл биш юм. Өнөөдөр бид функцын тогтмол тэмдгийн тэг ба интервалыг олох дасгал хийхээс гадна авч үзэж буй сэдвийн ханан доторх найдвартай арматуртай харьцуулж болох интервалын аргыг нарийвчлан шинжлэх болно.

Хэрэв таны барилгын төсөл суурь шатандаа байгаа бол функцийн графикийн талаархи танилцуулга хичээлээс эхэлнэ үү. Нэмж дурдахад функцийн домэйн, Графикийн асимптотууд гэсэн нийтлэлүүдтэй танилцахыг зөвлөж байна, мөн чанартаа энэ хуудсан дээрх мэдээлэл нь логик үргэлжлэл юм. Энэ материал нь мэдээжийн хэрэг ахлах сургуулийн сурагчдад хэрэг болно.

Хязгааргүй салаатай y = f (x) муруй дээрх цэгээс тодорхой шулуун шугам хүртэлх d зай нь энэ муруйг дагуулан хязгааргүйд шилжих үед тэг рүү чиглэж байвал шулуун шугамыг асимптот гэнэ. муруйн.

Асимптотууд байдаг: 1) хэвтээ, 2) босоо, 3) налуу.

1. y = f (x) муруй нь зөвхөн үед f (x) функцийн хязгаарлагдмал хязгаар байгаа тохиолдолд хэвтээ асимптот y = b байх ба энэ хязгаар b-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл

2. y = f (x) муруй нь босоо асимптот x = a байна. Босоо асимптотуудыг тодорхойлохын тулд f (x) нь үнэмлэхүй утгаараа хязгааргүй нэмэгдэж байгаа аргументуудын утгыг олох шаардлагатай. Хэрэв аргументын ийм утгууд нь a1, a2, ... байвал босоо асимптотуудын тэгшитгэлүүд болно.

x = a1, x = a2...

3. y = f (x) муруйн y = kx + b ташуу асимптотыг тодорхойлохын тулд томъёоноос k, b тоог олох хэрэгтэй.

(хэргийг тусад нь авч үзэх хэрэгтэй). y = f (x) муруйн налуу асимптотууд нь зөвхөн эдгээр хязгаарууд хязгаарлагдмал утгатай байх тохиолдолд л оршино. Эдгээр хязгаарыг тодорхойлохдоо L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглах нь тохиромжтой.

Жишээ. Муруйн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Хэвтээ асимптот байхгүй. Бид нөхцөл байдлаас босоо асимптотыг олдог

2x + 3 = 0 => x = - 3/2 байхад y
, Хэзээ
, y
, Хэзээ
. Тэгшитгэл нь y = kx + b хэлбэртэй байгаа ташуу асимптотуудыг тодорхойлъё.

Учир нь k ба b нь хязгаарлагдмал утгатай бөгөөд х дээр бие биетэйгээ тэнцүү байна
мөн x дээр
, тэгвэл тэгшитгэл нь өвөрмөц ташуу асимптот байна

Ерөнхий функциональ судалгаа

Функцийг бүрэн судлах нь ихэвчлэн дараах асуултуудыг шийдвэрлэхийг хэлнэ.

Функцийн оршин тогтнох мужийг тодорхойлох.

Функцийн тэгш ба сондгой байдлын асуудлыг тодорхойлох.

Функцийн тасрах цэгийг тодорхойлох.

Функцийн графикийн асимптотыг тодорхойлох.

Функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлох.

Функцийн экстремумыг тодорхойлох.

Функцийн графикийн гүдгэр ба хотгорын интервалыг тодорхойлох.

Гулзайлтын цэгүүдийг тодорхойлох.

Координатын тэнхлэгүүдийн огтлолцлыг олох.

Функцийн график дүрслэх.

Жишээ. Функцийг судалж үзье

D(y) = (
). Функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр тасралтгүй байна. Хагарах цэг байхгүй.

Функц нь тэгш, сондгой, үечилсэн ч биш.

Хагарах цэг байхгүй.

Босоо асимптот байхгүй;
, ташуу асимптот байхгүй.

5, 6.
. Чухал цэгүүд x = -2, x = 0.

	( )				( )
Гарын үсэг зурах		= 0
Функцийн зан байдал	Нэмэгдэх	3			Нэмэгдэх

7, 8.
,
x = 1 үед,
x = 0-д байхгүй.

	( )				( )
Гарын үсэг зурах		=		= 0
Функцийн зан байдал	Гүдгэр орой	Гулзайлтын цэг биш	Гүдгэр орой	Гулзайлтын цэг	Гүдгэр доош

9.
x =0 ба x = -5.

Дасгал 1

А матрицын хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоол

Гурав дахь эрэмбийн В матрицын тодорхойлогчийг тооцоол

В матрицын тодорхойлогчийг аль ч мөр, аль ч багананд тэлэх замаар тооцоол

Тодорхойлогчдын шинж чанарыг ашиглан В матрицын тодорхойлогчийг тооцоол. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн тооцоог хоёр дахь эрэмбийн нэг тодорхойлогчийн тооцоонд буулгах

Сонголт 1

Сонголт 2

Сонголт 3

Сонголт 4

Сонголт 5

Сонголт 6

Сонголт 7

Сонголт 8
Сонголт 9
Сонголт 10

Даалгавар 2

1. Крамерын аргаар тэгшитгэлийн системийг шийд Аа = а

Крамерын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд INx = б

Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд INx = б

Даалгавар 3.

Аа = а

Матрицын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд INx = б

Даалгавар 4.

Матрицын зэрэглэлийг тооцоол.

1., 2.
;

3.
4.

5.
6.

7.
8

9.
10.

Даалгавар 5

Гурвалжны Δ хоёр орой өгөгдсөн ABC: А (X 1 , у 1 ), IN(X 2 , у 2 ) ба хугацаа Д (x 3 , y 3 ) өндөртэй уулзварууд:

a) гурвалжны Δ өндөр, медиан, биссектрисын тэгшитгэлийг үүсгэ ABC.

б) гурвалжны оройг дайран өнгөрөх ба талуудтай параллель шулуунуудын тэгшитгэлийг ол.

в) гурвалжны өндрийн урт ба цэгээс зайг тодорхойлно М (X 4 , y 4 ) гурвалжны талууд руу.

	x 1	y 1	x 2	y 2	x 3	y 3	x 4	y 4

Даалгавар 6.

Пирамидын оройн координатуудыг өгөв ABCД: А (X 1 , у 1 , z 1 ), IN(X 2 , у 2 , z 3 ) ,C (x 2 , y 2 , z 2 ) ,Д (X 4 , y 4 , z 3 )

1) хавирганы урт AB;.

2) хавирганы хоорондох өнцөг ABТэгээд АД;

3) ирмэг хоорондын өнцөг МЭ ба ирмэг ABC;

4) нүүрний хэсэг ABC;

5) пирамидын эзэлхүүн;

6) шугамын тэгшитгэл AB;

7) хавтгай тэгшитгэл ABC;

8) оройноос унасан өндрийн тэгшитгэл Дирмэг хүртэл ABC.

n

x 1

y 1

z 1

x 2

y 2

z 2

x 3

y 3

z 3

x 4

y 4

z 4

Даалгавар 7.

Даалгавар 8. Функцийн мужийг ол

5.

7.

8.

9.

10.

Даалгавар 9. Функцийг графикаар зур

1.

2.

3.

4

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Даалгавар 10. Функцийн хязгаарыг ол

1.а)
, б)
, V)
,

G)
, г)

2.а)
, б)
, V)
,

G)
, г)

3.a)
, б)
, V)
,

G)
, г)

4. а)
, б)
, V)
,

G)
, г)

5.a)
, б)
, V)
,

G)
, г)

6.a)
, б)
, V)
,

G)
, г)

7. а)
, б)
, V)
,

G)
, г)

8.a)
, б)
, V)
,

G)
, г)

9.а)
, б)
, V)
,

G)
, г)

10.а)
, б)
, V)
,

G)
, г)

Даалгавар 11. Деривативыг ол

1.
, b),

V)
, G)
, г)
, e)

2. а)
, б)
, V)
,

G)
, г)
,e)

3. а), б)
, V)
, G)
, г)
, e)

4. а)
, б)
, V)
,

G)
, г)
, e)

5. а)
, б)
, V)
, G)
, г)
,

д)

6. а)
, б)
, V)
, G)
, г)
,

д)

7. а)
, b),

V)
, G)
, г)
,

д)

8. а)
, б)
, V)
, G)
, г)
,

д)

9. а)
, б)
, V)
,

G)
, г)
, e)

10. а)
, б)
, V)
,

G)
, г)
, e)

Даалгавар 12. Функц тэгш байдлыг хангаж байгааг харуул

Даалгавар 13. Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн хоёр дахь деривативыг ол.

1 .
6.

2.
7

3.
8

4.
9.

5.
10.

Даалгавар 14. L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг ол

Даалгавар 15. Өгөгдсөн функцүүдийн экстремумыг ол.

1.
6.

2.
7.

3.
8.

4.
9.

5.
10.

Даалгавар 16. Заасан сегментүүд болон заасан интервалууд дээрх хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.

Даалгавар 17. Эдгээр функцийг бүрэн судалж, графикийг нь зур.

1.
6.

2.
7.

3.
8.

4.
9.

5.
10.

Уран зохиол:

Баврин I.I. Дээд математикийн курс.-М.: Гэгээрэл, 1992.-400 х.

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Математикийн гарын авлага. М, 1967, 608 с

Эдийн засагчдад зориулсан дээд математикийн ерөнхий курс, В.И.Ермаков-М. "Инфра-М" 1999 - 655 х.

Тэуш В.Л. Дээд математикийн курс. - М.: Зөвлөлтийн шинжлэх ухаан, 1958, 270 х.

Шипачев В.С. Дээд математик: Сурах бичиг М. Дээд сургууль, 1990.-479 х.

Эдийн засагчдад зориулсан дээд математик: Их дээд сургуулиудад зориулсан сурах бичиг / Н.Ш.Путко болон бусад. М: НЭГДЭЛ, 2002. – 461 х.

Валиев К.Г., Джалладова И.А.Вишча Математик: Захирал. Пос_бник.

y = f(x) функцийн графикийн асимптот нь график цэгээс тодорхойгүй хугацаагаар шилжих үед (x, f(x)) цэгээс энэ шулуун хүртэлх зай тэг рүү чиглэх шинж чанартай шулуун шугам юм. гарал үүсэл.

Зураг 3.10-д. босоо, хэвтээ, ташуу асимптотуудын график жишээг үзүүлэв.

Графикийн асимптотуудыг олох нь дараах гурван теорем дээр суурилдаг.

Босоо асимптотын теорем. y = f(x) функцийг x 0 цэгийн тодорхой ойролцоо (энэ цэгийг өөрөө хасч магадгүй) тодорхойлогдох ба функцийн нэг талт хязгаарын ядаж нэг нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Тэгвэл x = x 0 шулуун нь y = f(x) функцийн графикийн босоо асимптот болно.

Хэрэв функц x 0 цэг дээр тасралтгүй байвал x = x 0 шулуун шугам нь босоо асимптот болж чадахгүй нь ойлгомжтой, учир нь энэ тохиолдолд . Иймээс босоо асимптотуудыг функцийн тасалдал эсвэл түүний тодорхойлолтын хүрээний төгсгөлд хайх хэрэгтэй.

Хэвтээ асимптотын теорем. Хангалттай том х-ийн хувьд y = f(x) функцийг тодорхойлъё, функцийн хязгаарлагдмал хязгаар байна. Тэгвэл y = b шугам нь функцийн графикийн хэвтээ асимптот болно.

Сэтгэгдэл. Хэрэв хязгаарын зөвхөн нэг нь хязгаарлагдмал байвал функц нь зүүн эсвэл баруун талт хэвтээ асимптоттой байна.

Энэ тохиолдолд функц нь ташуу асимптоттой байж болно.

Ташуу асимптотын теорем. Хангалттай том х-ийн хувьд y = f(x) функцийг тодорхойлж, хязгаарлагдмал хязгаартай байг . Дараа нь y = kx + b шулуун шугам нь функцийн графикийн налуу асимптот болно.

Нотлох баримт байхгүй.

Хэрэв харгалзах хязгаарын суурь нь тодорхой тэмдгийн хязгааргүйг агуулж байвал ташуу асимптот нь хэвтээ шиг баруун эсвэл зүүн гартай байж болно.

Функцуудыг судлах, тэдгээрийн графикийг бүтээх нь ихэвчлэн дараах алхмуудыг агуулна.

1. Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол.

2. Функцийг тэгш сондгой байгаа эсэхийг шалга.

3. Хэрэв хязгаарлагдмал бол тасархайн цэгүүд болон тодорхойлолтын мужын хил дэх функцийн зан төлөвийг судалж босоо асимптотуудыг ол.

4. Хязгааргүй үед функцийн зан төлөвийг судалж хэвтээ эсвэл ташуу асимптотуудыг ол.

5. Функцийн монотон байдлын экстремум ба интервалыг ол.

6. Функцийн гүдгэр ба гулзайлтын цэгийн интервалыг ол.

7. Координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд болон магадгүй графикийг тодруулах нэмэлт цэгүүдийг ол.

Функцийн дифференциал

Хэрэв функц нь тодорхой суурийн хувьд хязгаарлагдмал тоотой тэнцүү хязгаартай бол түүнийг энэ тооны нийлбэр ба ижил суурийн хувьд хязгааргүй бага утгатай (болон эсрэгээр) илэрхийлж болно гэдгийг баталж болно: .

Энэ теоремыг дифференциалагдах функцэд хэрэглэе: .

Тиймээс Dу функцийн өсөлт нь хоёр гишүүнээс бүрдэнэ: 1) Dx-тэй харьцуулахад шугаман, i.e. f `(x)Dх; 2) Dx-ийн хувьд шугаман бус, i.e. a(Dx)Dх. Үүний зэрэгцээ, тэр цагаас хойш , энэ хоёр дахь гишүүн нь Dx-ээс өндөр эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоо юм (Dx тэг рүү тэмүүлдэг тул илүү хурдан тэглэх хандлагатай байдаг).

Функцийн дифференциал нь dy = f `(x)Dx бие даасан хувьсагчийн дериватив ба нэмэгдлийн үржвэртэй тэнцүү, функцийн өсөлтийн Dx-тэй харьцуулсан үндсэн шугаман хэсэг юм.

y = x функцийн дифференциалыг олъё.

dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх тул dx = Dх, i.e. бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байна.

Иймд функцийн дифференциалын томьёог dy = f `(x)dх гэж бичиж болно. Ийм учраас деривативын тэмдэглэгээний нэг нь dy/dx бутархай юм.

Дифференциалын геометрийн утгыг дүрсэлсэн болно
Зураг 3.11. y = f(x) функцийн график дээр дурын M(x, y) цэгийг авъя. Аргумент x-д Dx өсөлтийг өгье. Дараа нь y = f(x) функц нь Dy = f(x + Dх) - f(x) өсөлтийг хүлээн авна. Абсцисса тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй а өнцгийг үүсгэдэг M цэг дээрх функцийн график руу шүргэгч зуръя, өөрөөр хэлбэл. f `(x) = бор а. MKN тэгш өнцөгт гурвалжингаас
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

Ийнхүү функцийн дифференциал нь x нь Dx өсөлтийг хүлээн авах үед тухайн цэгт функцийн графикт татсан шүргэгчийн ординатын өсөлт юм.

Дифференциалын шинж чанарууд нь деривативын шинж чанаруудтай үндсэндээ ижил байна:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Гэсэн хэдий ч функцийн дифференциалын деривативт байдаггүй чухал шинж чанар байдаг - энэ нь дифференциал хэлбэрийн өөрчлөгддөггүй байдал юм.

y = f(x) функцийн дифференциалын тодорхойлолтоос dy = f `(x)dх дифференциал. Хэрэв энэ функц y нь нарийн төвөгтэй бол i.e. y = f(u), энд u = j(x), дараа нь y = f ба f `(x) = f `(u)*u` болно. Дараа нь dy = f `(u)*u`dх. Гэхдээ функцийн хувьд
u = j(x) дифференциал du = u`dх. Эндээс dy = f `(u)*du.

dy = f `(x)dх ба dy = f `(u)*du тэгшитгэлүүдийг харьцуулж үзвэл бид x бие даасан хувьсагчийн функцийн оронд функцийг авч үзвэл дифференциал томъёо өөрчлөгдөхгүй эсэхийг шалгана. хамааралтай хувьсагч u. Дифференциалын энэ шинж чанарыг дифференциал хэлбэрийн (эсвэл томьёоны) инвариант байдал (өөрөөр хэлбэл өөрчлөгддөггүй) гэж нэрлэдэг.

Гэсэн хэдий ч эдгээр хоёр томъёонд ялгаа байсаар байна: тэдгээрийн эхнийх нь бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. dx = Dx, хоёрдугаарт, du функцийн дифференциал нь зөвхөн энэ Du функцийн өсөлтийн шугаман хэсэг бөгөөд зөвхөн жижиг Dx du » Du.

2020 оны долдугаар сард НАСА Ангараг гараг руу экспедицээ эхлүүлнэ. Сансрын хөлөг Ангараг гаригт экспедицид бүртгүүлсэн бүх оролцогчдын нэрс бүхий цахим зөөвөрлөгчийг хүргэх болно.

Оролцогчдын бүртгэл нээлттэй байна. Энэ линкээр Ангараг гариг ​​руу явах тасалбараа аваарай.

Хэрэв энэ нийтлэл таны асуудлыг шийдсэн эсвэл танд таалагдсан бол холбоосыг нийгмийн сүлжээн дэх найзуудтайгаа хуваалцаарай.

Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг таны вэб хуудасны код руу хуулж, шошгоны хооронд болон шошгоны дараа шууд буулгах шаардлагатай. Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар хянаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.

MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээр дурдсан татаж авах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойртуулна уу. Загварын эхэнд (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Тэгээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML-ийн тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та сайтынхаа вэб хуудсанд математикийн томьёо оруулахад бэлэн боллоо.

Ахиад л шинэ жилийн үдэш... хүйтэн жавартай цаг агаар, цонхны шилэн дээр цасан ширхгүүд... Энэ бүхэн намайг... фракталуудын тухай, мөн Вольфрам Альфа энэ талаар мэддэг зүйлийн талаар дахин бичихэд хүргэв. Энэ сэдвээр хоёр хэмжээст фрактал бүтцийн жишээг агуулсан сонирхолтой нийтлэл байна. Энд бид гурван хэмжээст фракталуудын илүү төвөгтэй жишээг авч үзэх болно.

Фракталыг геометрийн дүрс эсвэл бие (хоёулаа багц, энэ тохиолдолд цэгүүдийн багц гэсэн үг) хэлбэрээр дүрсэлж (тодорхойлж) болно, тэдгээрийн дэлгэрэнгүй мэдээлэл нь анхны дүрстэй ижил хэлбэртэй байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь өөрөө ижил төстэй бүтэц бөгөөд нарийн ширийнийг нь судалж үзэхэд бид томруулдаггүй хэлбэрийг харах болно. Харин ердийн геометрийн дүрсийн хувьд (фрактал биш) томруулж үзэхэд бид анхны дүрсээс илүү энгийн хэлбэртэй нарийн ширийн зүйлийг харах болно. Жишээлбэл, хангалттай томруулсан үед эллипсийн хэсэг нь шулуун шугамын сегмент шиг харагдана. Фракталд ийм зүйл тохиолддоггүй: тэдгээрийн хэмжээ нэмэгдэх тусам бид ижил төвөгтэй хэлбэрийг дахин харах болно, энэ нь нэмэгдэх бүрд дахин дахин давтагдах болно.

Фракталын шинжлэх ухааныг үндэслэгч Бенуа Манделброт "Фрактал ба шинжлэх ухааны нэрийн урлаг" хэмээх өгүүлэлдээ: "Фракталууд нь ерөнхий хэлбэрийнх шигээ нарийн төвөгтэй геометрийн хэлбэрүүд юм бүхэлд нь томрох болно, энэ нь бүхэлдээ, яг эсвэл бага зэрэг гажигтай харагдах болно."

Хэрэв та эхлээд муруйн асимптотуудыг байгуулбал ихэнх тохиолдолд функцийн графикийг бүтээх нь илүү хялбар болно.

Асимптотын хувь заяа эмгэнэлээр дүүрэн байдаг. Энэ нь юу болохыг төсөөлөөд үз дээ: бүх амьдрал тань нандин зорилгодоо чиглэн, түүндээ аль болох ойртсон боловч хэзээ ч хүрч чадахгүй. Жишээлбэл, амьдралынхаа зам мөрийг хүссэн хүнийхээ замтай холбохыг хичээж, хэзээ нэгэн цагт түүнд бараг ойртсон, гэхдээ түүнд хүрэхгүй байх. Эсвэл тэрбум олохыг хичээ, гэхдээ энэ зорилгодоо хүрч, Гиннесийн амжилтын номонд орохоос өмнө хэдэн зуун цент дутуу байна. гэх мэт. Энэ нь асимптоттой адил юм: энэ нь функцийн графикийн муруйд хүрэхийг байнга эрмэлздэг, хамгийн бага боломжит зайд ойртдог боловч хэзээ ч хүрдэггүй.

Тодорхойлолт 1. Хувьсагч нь хязгааргүй нэмэх эсвэл хасах хязгаартай байх үед функцийн график дур мэдэн ойртож буй шулуун шугамуудыг асимптот гэнэ.

Тодорхойлолт 2. Хувьсах цэгээс хол зайтай бол шулуун шугамыг функцийн графикийн асимптот гэнэ. МЭнэ шугам хүртэлх функцийн график нь цэг тодорхойгүй хугацаагаар холдох тусам тэг болох хандлагатай байна Мфункцийн графикийн аль нэг салааны дагуух эх үүсвэрээс.

Босоо, хэвтээ, ташуу гэсэн гурван төрлийн асимптот байдаг.

Босоо асимптотууд

Босоо асимптотуудын талаар хамгийн түрүүнд мэдэх ёстой зүйл бол тэдгээр нь тэнхлэгтэй параллель байх явдал юм Өө .

Тодорхойлолт. Чигээрээ x = абайна функцийн графикийн босоо асимптот, хэрэв цэг x = ань энэ функцийн хоёр дахь төрлийн тасалдал юм.

Тодорхойлолтоос харахад шулуун шугам x = ань функцийн графикийн босоо асимптот юм е(x) дор хаяж нэг нөхцөл хангагдсан бол:

Энэ тохиолдолд функц е(x) ямар ч үед тус тус тодорхойлогдоогүй байж болно x ≥ аТэгээд x ≤ а .

Сэтгэгдэл:

Жишээ 1. Функцийн график y=ln xбосоо асимптоттой x= 0 (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө) тодорхойлолтын домэйны хил дээр, учир нь функцийн хязгаар нь баруун талаас тэг рүү чиглэдэг х нь хязгааргүйтэй тэнцүү байна:

(дээрх зураг).

өөрөө, дараа нь шийдлүүдийг хар

Жишээ 2. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол.

Жишээ 3. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Хэвтээ асимптотууд

Хэвтээ асимптотуудын талаар мэдэх ёстой хамгийн эхний зүйл бол тэдгээр нь тэнхлэгтэй параллель байх явдал юм Үхэр .

Хэрэв (аргумент нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай функцын хязгаар нь тодорхой утгатай тэнцүү бол) б), Тэр y = б – хэвтээ асимптотмуруй y = е(x) (X нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай үед баруун талд, X хасах хязгааргүй байх хандлагатай үед зүүн талд, хэрэв X нэмэх эсвэл хасах хязгааргүй байх хандлагатай бол хоёр талт).

Жишээ 5. Функцийн график

цагт а> 1 нь хэвтээ ассимпототыг орхисон y= 0 (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгтэй давхцаж байна Үхэр), "x" гэсэн функцийн хязгаар нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай тул тэг болно:

"x" гэсэн функцийн хязгаар нь хязгааргүй нэмэх хандлагатай байдаг тул муруй нь зөв хэвтээ асимптотгүй:

Ташуу асимптотууд

Бидний дээр судалсан босоо болон хэвтээ асимптотууд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байдаг тул тэдгээрийг бүтээхийн тулд бидэнд зөвхөн тодорхой тоо буюу асимптот дамждаг абсцисса эсвэл ординатын тэнхлэг дээрх цэг хэрэгтэй болно. Ташуу асимптотын хувьд илүү их зүйл хэрэгтэй - налуу к, энэ нь шугамын налуу өнцөг, чөлөөт нэр томъёог харуулж байна б, энэ нь шугам нь эх үүсвэрээс хэр их эсвэл доор байгааг харуулдаг. Аналитик геометр ба түүнээс шулуун шугамын тэгшитгэлийг мартаагүй хүмүүс ташуу асимптотын хувьд өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг олдгийг анзаарах болно. Ташуу асимптот байгаа эсэхийг дараах теоремоор тодорхойлж, үүний үндсэн дээр сая дурдсан коэффициентүүдийг олно.

Теорем. Муруй болгохын тулд y = е(x) асимптоттой байсан y = kx + б, хязгаарлагдмал хязгаар байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм кТэгээд бхувьсагч хандлагаар авч үзэж буй функцийн xнэмэх хязгаар, хасах хязгаар:

(1)

(2)

Ийм байдлаар олдсон тоонууд кТэгээд бба ташуу асимптот коэффициентууд.

Эхний тохиолдолд (х нь хязгааргүй нэмэх хандлагатай байдаг тул) баруун налуу асимптот, хоёр дахь тохиолдолд (х хасах хязгааргүй байх хандлагатай байдаг тул) зүүн ташуу асимптотыг олж авна. Баруун ташуу асимптотыг Зураг дээр үзүүлэв. доор.

Ташуу асимптотын тэгшитгэлийг олохдоо X-ийн нэмэх хязгааргүй ба хасах хязгааргүйд хандах хандлагыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Зарим функцүүдийн хувьд, жишээлбэл, бутархай оновчтой функцүүдийн хувьд эдгээр хязгаарууд давхцдаг боловч олон функцүүдийн хувьд эдгээр хязгаарууд өөр бөгөөд тэдгээрийн зөвхөн нэг нь байж болно.

Хэрэв хязгаарууд давхцаж, x нь хязгааргүй, хасах хязгааргүй байх хандлагатай байвал шулуун шугам y = kx + бнь муруйн хоёр талт асимптот юм.

Хэрэв асимптотыг тодорхойлох хязгаарын нэгээс доошгүй бол y = kx + б, байхгүй бол функцийн графикт ташуу асимптот байхгүй (гэхдээ босоо байрлалтай байж болно).

Хэвтээ асимптот байгааг харахад хялбар байдаг y = бташуу онцгой тохиолдол юм y = kx + бцагт к = 0 .

Тиймээс хэрэв аль нэг чиглэлд муруй нь хэвтээ асимптоттой бол энэ чиглэлд налуу байхгүй ба эсрэгээр.

Жишээ 6. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Функц нь бүхэл тоон мөрөнд тодорхойлогддог x= 0, өөрөөр хэлбэл.

Тиймээс, эвдрэх цэг дээр x= 0 муруй нь босоо асимптоттой байж болно. Үнэн хэрэгтээ, x нь зүүнээс тэг рүү чиглэж байгаа функцийн хязгаар нь нэмэх хязгаартай тэнцүү байна:

Тиймээс, x= 0 – энэ функцийн графикийн босоо асимптот.

Энэ функцийн график нь хэвтээ асимптотгүй, учир нь функцийн хязгаар нь нэмэх хязгаарыг нэмэх хандлагатай байдаг тул:

Ташуу асимптот байгаа эсэхийг олж мэдье.

Хязгаарлагдмал хязгаартай к= 2 ба б= 0. Чигээрээ y = 2xнь энэ функцийн графикийн хоёр талын налуу асимптот юм (жишээний доторх зураг).

Жишээ 7. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Функц нь нэг таслах цэгтэй x= −1. Нэг талын хязгаарыг тооцоолж, тасалдлын төрлийг тодорхойлъё.

Дүгнэлт: x= −1 нь хоёр дахь төрлийн тасархай цэг тул шулуун шугам x= −1 нь энэ функцийн графикийн босоо асимптот юм.

Бид ташуу асимптотуудыг хайж байна. Энэ функц нь бутархай-рациональ учраас at болон at хязгаарууд давхцдаг. Тиймээс бид тэгшитгэлд шулуун шугам - ташуу асимптотыг орлуулах коэффициентийг олно.

Олдсон коэффициентүүдийг налуугийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлд орлуулснаар ташуу асимптотын тэгшитгэлийг олж авна.

y = −3x + 5 .

Зураг дээр функцийн графикийг burgundy өнгөөр, асимптотуудыг хараар зааж өгсөн болно.

Жишээ 8. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Энэ функц тасралтгүй байдаг тул түүний график нь босоо асимптотгүй. Бид ташуу асимптотуудыг хайж байна:

.

Тиймээс энэ функцийн график нь асимптоттой байна y= 0 үед ба асиптот байхгүй байна.

Жишээ 9. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Эхлээд бид босоо асимптотуудыг хайдаг. Үүнийг хийхийн тулд функцийн тодорхойлолтын мужийг олно. Функц нь тэгш бус байх үед тодорхойлогдоно. Хувьсагчийн тэмдэг xтэмдэгтэй таарч байна. Тиймээс эквивалент тэгш бус байдлыг авч үзье. Үүнээс бид функцийн тодорхойлолтын мужийг олж авна. . Босоо асимптот нь зөвхөн функцийн тодорхойлолтын домэйны хил дээр байж болно. Гэхдээ x= 0 нь босоо асимптот байж болохгүй, учир нь функц нь дээр тодорхойлогддог x = 0 .

Баруун гар талын хязгаарыг авч үзье (зүүн гар талын хязгаарлалт байхгүй):

.

Цэг x= 2 нь хоёр дахь төрлийн тасархай цэг тул шулуун шугам x= 2 - энэ функцийн графикийн босоо асимптот.

Бид ташуу асимптотуудыг хайж байна:

Тэгэхээр, y = x+ 1 - энэ функцийн графикийн ташуу асимптот. Бид ташуу асимптотыг хайж байна:

Тэгэхээр, y = −x− 1 - үед ташуу асимптот.

Жишээ 10. Функцийн графикийн асимптотуудыг ол

Шийдэл. Функц нь тодорхойлолтын мужтай байдаг . Энэ функцийн графикийн босоо асимптот нь зөвхөн тодорхойлолтын мужын хил дээр байж болох тул функцийн нэг талт хязгаарыг -ээс олно.