Как составить матрицу. Матрицы

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е - единичная матрица n -го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц.

Назначение сервиса . С помощью данного сервиса в онлайн режиме можно найти алгебраические дополнения , транспонированную матрицу A T , союзную матрицу и обратную матрицу. Решение проводится непосредственно на сайте (в онлайн режиме) и является бесплатным. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word и в формате Excel (т.е. имеется возможность проверить решение). см. пример оформления .

Инструкция . Для получения решения необходимо задать размерность матрицы. Далее в новом диалоговом окне заполните матрицу A .

См. также Обратная матрица методом Жордано-Гаусса

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Нахождение транспонированной матрицы A T .
Определение алгебраических дополнений. Заменяют каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением.
Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент полученной матрицы делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.

Следующий алгоритм нахождения обратной матрицы аналогичен предыдущему за исключением некоторых шагов: сначала вычисляются алгебраические дополнения, а затем определяется союзная матрица C .

Определяют, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует.
Вычисление определителя матрицы A . Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.
Определение алгебраических дополнений.
Заполнение союзной (взаимной, присоединённой) матрицы C .
Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений: каждый элемент присоединённой матрицы C делят на определитель исходной матрицы. Результирующая матрица является обратной для исходной матрицы.
Делают проверку: перемножают исходную и полученную матрицы. В результате должна получиться единичная матрица.

Пример №1 . Запишем матрицу в виде:

Алгебраические дополнения.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1	-2
5	4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2	-2
-2	4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2	-1
-2	5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2	3
5	4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1	3
-2	4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1	2
-2	5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2	3
-1	-2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1	3
2	-2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1	2
2	-1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогда обратную матрицу можно записать как:

A -1 = 1 / 10

6	-4	8
7	2	1
-1	4	-3

A -1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Другой алгоритм нахождения обратной матрицы

Приведем другую схему нахождения обратной матрицы.

Находим определитель данной квадратной матрицы A .
Находим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A .
Записываем алгебраические дополнения элементов строк в столбцы (транспонирование).
Делим каждый элемент полученной матрицы на определитель матрицы A .

Как видим, операция транспонирования может применяться как в начале, над исходной матрицей, так и в конце, над полученными алгебраическими дополнениями.

Особый случай : Обратной, по отношению к единичной матрице E , является единичная матрица E .

Решение матриц – понятие обобщающее операции над матрицами. Под математической матрицей понимается таблица элементов. О подобной таблице, в которой m строк и n столбцов, говорят что это матрица размером m на n.
Общий вид матрицы

Основные элементы матрицы:
Главная диагональ . Её составляют элементы а 11 ,а 22 …..а mn
Побочная диагональ. Её слагают элементы а 1n ,а 2n-1 …..а m1 .
Перед тем как перейти к решению матриц рассмотрим основные виды матриц:
Квадратная – в которой число строк равно числу столбцов (m=n)
Нулевая – все элементы этой матрицы равны 0.
Транспонированная матрица - матрица В, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.
Единичная – все элементы главной диагонали равны 1, все остальные 0.
Обратная матрица - матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.
Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. То есть, если а 12 =а 21 , а 13 =а 31 ,….а 23 =а 32 …. а m-1n =а mn-1 . то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными бывают только квадратные матрицы.
Теперь перейдем непосредственно к вопросу, как решать матрицы.

Сложение матриц.

Матрицы можно алгебраически складывать, если они обладают одинаковой размерностью. Чтобы сложить матрицу А с матрицей В, необходимо элемент первой строки первого столбца матрицы А сложить с первым элементом первой строки матрицы В, элемент второго столбца первой строки матрицы А сложить с элементом элемент второго столбца первой строки матрицы В и т.д.
Свойства сложения
А+В=В+А
(А+В)+С=А+(В+С)

Умножение матриц .

Матрицы можно перемножать, если они согласованы. Матрицы А и В считаются согласованными, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.
Если А размерностью m на n, B размерностью n на к, то матрица С=А*В будет размерностью m на к и будет составлена из элементов

Где С 11 – сумма папарных произведений элементов строки матрицы А и столбца матрицы В, то есть элемента сумма произведения элемента первого столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца первой строки матрицы В, элемента второго столбца первой строки матрицы А с элементом первого столбца второй строки матрицы В и т.д.
При перемножении важен порядок перемножения. А*В не равно В*А.

Нахождение определителя.

Любая квадратная матрица может породить определитель или детерминант. Записывает det. Или | элементы матрицы |
Для матриц размерностью 2 на 2. Определить есть разница между произведением элементов главной и элементами побочной диагонали.

Для матриц размерностью 3 на 3 и более. Операция нахождения определителя сложнее.
Введем понятия:
Минор элемента – есть определитель матрицы, полученной из исходной матрицы, путем вычеркивания строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется произведение минора этого элемента на -1 в степени суммы строки и столбца исходной матрицы, в которой этот элемент находился.
Определитель любой квадратной матрицы равен сумме произведения элементов любого ряда матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

Обращение матрицы

Обращение матрицы - это процесс нахождения обратной матрицы, определение которой мы дали в начале. Обозначается обратная матрица также как исходная с припиской степени -1.
Находиться обратная матрица по формуле.
А -1 = A * T x (1/|A|)
Где A * T - Транспонированная матрица Алгебраических дополнений.

Примеры решения матриц мы сделали в виде видеоурока

:

Если хотите разобраться, смотрите обязательно.

Это основные операции по решению матриц. Если появится дополнительные вопросы о том, как решить матрицы , пишите смело в комментариях.

Если все же вы не смогли разобраться, попробуйте обратиться к специалисту.

Линейная алгебра 1

Матрицы 1

Операции над матрицами 2

Определители матриц 6

Обратная матрица 13

Ранг матрицы 16

Линейная независимость 21

Системы линейных уравнений 24

Методы решения систем линейных уравнений 27

Метод обратной матрицы 27

Метод решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей по формулам Крамера 29

Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) 31

Линейная алгебра Матрицы

Матрица размераmхn– это прямоугольная таблица чисел, содержащаяmстрок иnстолбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы принято обозначать заглавными латинскими буквами, а элементы – теми же, но строчными буквами с двойной индексацией.

Например, рассмотрим матрицу А размерности 2 х 3:

В этой матрице две строки (m= 2) и три столбца (n= 3), т.е. она состоит из шести элементовa ij , гдеi- номер строки, j - номер столбца. При этом принимает значения от 1 до 2, а от одного до трех (записывается
). А именно,a 11 = 3;a 12 = 0;a 13 = -1;a 21 = 0;a 22 = 1,5;a 23 = 5.

Матрицы А и В одного размера (mхn) называютравными , если они поэлементно совпадают, т.е.a ij =b ij для
, т.е. для любыхiиj(можно записатьi,j).

Матрица-строка – это матрица, состоящая из одной строки, аматрица-столбец – это матрица, состоящая из одного столбца.

Например,
- матрица-строка, а
.

Квадратная матрица n-го порядка – это матрица, в число строк равно числу столбцов и равно n.

Например,
- квадратная матрица второго порядка.

Диагональные элементы матрицы – это элементы, у которых номер строки равен номеру столбца (a ij ,i=j). Эти элементы образуютглавную диагональ матрицы. В предыдущем примере главную диагональ образуют элементыa 11 = 3 иa 22 = 5.

Диагональная матрица – это квадратная матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. Например,
- диагональная матрица третьего порядка. Если при этом все диагональные элементы равны единице, то матрица называетсяединичной (обычно обозначаются буквой Е). Например,
- единичная матрица третьего порядка.

Матрица называется нулевой , если все ее элементы равны нулю.

Квадратная матрица называется треугольной , если все ее элементы ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Например,
- треугольная матрица третьего порядка.

Операции над матрицами

Над матрицами можно производить следующие операции:

1. Умножение матрицы на число . Произведением матрицы А на числоназывается матрица В =А, элементы которойb ij =a ij для любыхiиj.

Например, если
, то
.

2. Сложение матриц . Суммой двух матриц А и В одинакового размера m х n называется матрица С = А + В, элементы которой с ij =a ij +b ij дляi,j.

Например, если
то

Отметим, что через предыдущие операции можно определить вычитание матриц одинакового размера: разность А-В = А + (-1)*В.

3. Умножение матриц . Произведением матрицы А размераmxnна матрицу В размераnxpназывается такая матрица С, каждый элемент которой с ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В, т.е.
.

Например, если

, то размер матрицы-произведения будет 2 x 3, и она будет иметь вид:

В этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В.

На основе операции умножения для квадратных матриц определена операция возведения в степень . Целой положительной степенью А m (m > 1) квадратной матрицы А называются произведение m матриц, равных А, т.е.

Подчеркнем, что сложение (вычитание) и умножение матриц определены не для любых двух матриц, а только для удовлетворяющим определенным требованиям к своей размерности. Для нахождения суммы или разности матриц их размер обязательно должен быть одинаковым. Для нахождения произведения матриц число столбцов первой из них должно совпадать с числом строк второй (такие матрицы называют согласованными ).

Рассмотрим некоторые свойства рассмотренных операций, аналогичные свойствам операций над числами.

1) Коммутативный (переместительный) закон сложения:

А + В = В + А

2) Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

(А + В) + С = А + (В + С)

3) Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

(А + В) = А +В

А (В + С) = АВ + АС

(А + В) С = АС + ВС

5) Ассоциативный (сочетательный) закон умножения:

(АВ) = (А)В = А(В)

A(BС) = (АВ)С

Подчеркнем, что переместительный закон умножения для матриц в общем случае НЕ выполняется, т.е. AB BA. Более того, из существования AB не обязательно следует существование ВА (матрицы могут быть не согласованными, и тогда их произведение вообще не определено, как в приведенном примере умножения матриц). Но даже если оба произведения существуют, они обычно разные.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно А (умножение на единичную матрицу здесь аналогично умножению на единицу при умножении чисел):

АЕ = ЕА = А

В самом деле,

Подчеркнем еще одно отличие умножения матриц от умножения чисел. Произведение чисел может равняться нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. О матрицах этого сказать нельзя, т.е. произведение ненулевых матриц может равняться нулевой матрице. Например,

Продолжим рассмотрение операций над матрицами.

4. Транспонирование матрицы представляет собой операцию перехода от матрицы А размераmxnк матрице А Т размераnxm, в которой строки и столбцы поменялись местами:

Свойства операции транспонирования:

1) Из определения следует, что если матрицу транспонировать дважды, мы вернемся к исходной матрице: (A T) T = A.

2) Постоянный множитель можно вынести за знак транспонирования: (А) T =А T .

3) Транспонирование дистрибутивно относительно умножения и сложения матриц: (AB) T =B T A T и (A+B) T =B T +A T .

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А -1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А -1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...А n) называется невырожденной , если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.
Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.
Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.
Записать обратную матрицу А -1 , которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти обратную матрицу А -1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А -1 .

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ:

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются другие уравнения.

Пример 2

Решить уравнение АХ = В, если

Решение : Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)

Матричный метод в экономическом анализе

Наряду с другими в находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре. Такие методы применяются для целей анализа сложных и многомерных экономических явлений. Чаще всего эти методы используются при необходимости сравнительной оценки функционирования организаций и их структурных подразделений.

В процессе применения матричных методов анализа можно выделить несколько этапов.

На первом этапе осуществляется формирование системы экономических показателей и на ее основе составляется матрица исходных данных , которая представляет собой таблицу, в которой по ее отдельным строкам показываются номера систем (i = 1,2,....,n) , а по вертикальным графам — номера показателей (j = 1,2,....,m) .

На втором этапе по каждой вертикальной графе выявляется наибольшее из имеющихся значений показателей, которое и принимается за единицу.

После этого все суммы, отраженные в данной графе делят на наибольшее значение и формируется матрица стандартизированных коэффициентов .

На третьем этапе все составные части матрицы возводят в квадрат. Если они имеют различную значимость, то каждому показателю матрицы присваивается определенный весовой коэффициент k . Величина последнего определяется экспертным путем.

На последнем, четвертом этапе найденные величины рейтинговых оценок R j группируются в порядке их увеличения или уменьшения.

Изложенные матричные методы следует использовать, например, при сравнительном анализе различных инвестиционных проектов, а также при оценке других экономических показателей деятельности организаций.

Итак, сервисы по решению матриц онлайн:

Сервис работы с матрицами позволяет выполнить элементарные преобразования матриц.
Если у Вас стоит задача выполнить более сложное преобразование, то этим сервисом стоит пользоваться как конструктором.

Пример . Даны матрицы A и B , надо найти C = A -1 * B + B T ,

Вам стоит сначала найти обратную матрицу A1 = A -1 , воспользовавшись сервисом по нахождению обратной матрицы ;
Далее, после того, как нашли матрицу A1 выполним умножение матриц A2 = A1 * B , воспользовавшись сервисом по умножению матриц ;
Выполним транспонирование матрицы A3 = B T (сервис по нахождению транспонированной матрицы);
И последнее - найдем сумму матриц С = A2 + A3 (сервис по вычислению суммы матриц) - и получаем ответ с самым подробным решением!;

Произведение матриц

Это он-лайн сервис в два шага :

Ввести первый сомножитель матрицу A
Ввести второй сомножитель матрицу или вектор-столбец B

Умножение матрицы на вектор

Умножение матрицы на вектор можно найти, воспользовавшись сервисом Умножение матриц
(Первым сомножителем будет данная матрица, вторым сомножителем будет столбец, состоящий из элементов данного вектора)

Это он-лайн сервис в два шага :